Question

（本小題滿分12分）已知過點的直線與橢圓交于不同的兩點、，點是弦的中點．

（Ⅰ）若，求點的軌跡方程；

（Ⅱ）求的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）點的軌跡方程為（．（Ⅱ）．

【解析】本試題主要是考查了圓錐曲線中軌跡方程的求解，以及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合而運用，研究線段的比值問題。

（1）根據(jù)題意點的直線與橢圓交于不同的兩點、，點是弦的中點，且，設(shè)點的坐標，利用直線與橢圓相交得到A,B點坐標關(guān)系式，從而的得到軌跡方程

（2）利用直線方程與曲線方程聯(lián)立，得到弦長公式，表示出線段比值。

解（Ⅰ）①若直線∥軸，則點為； ②設(shè)直線，并設(shè)點的坐標分別是

，由消去，得 ， ①

由直線與橢圓有兩個不同的交點，可得，即，所以．

由及方程①，得，

，

即由于（否則，直線與橢圓無公共點），將上方程組兩式相除得，，

代入到方程，得，整理，得（．

綜上所述，點的軌跡方程為（．

（Ⅱ）①當∥軸時，分別是橢圓長軸的兩個端點，則點在原點處，所以，，所以，； ②由方程①，得

所以，，

，

所以． 因為，所以，所以，

所以．綜上所述，．