Question

在平面直角坐標系xOy中，已知定點A（-1，1）．動點P到點（0，

1

4

）的距離比P到y(tǒng)=-1的距離小

3

4

．
（1）求點P的軌跡C的方程；
（2）若Q是軌跡C上異于點P的一個點，且

PQ

=λ

OA

（λ＞0）．直線OP與QA交于點M．問：是否存在點P，使得△PQA和△PAM的面積滿足S_△PQA=4S_△PAM？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由拋物線的定義知，得P點的軌跡為是以（0，

1

4

）為焦點，以y=-

1

4

為準線的拋物線，即可求點P的軌跡C的方程；
（2）設P（x₁，x12），Q（x₂，x22），由

PQ

=λ

OA

可知直線PQ∥OA，則k_PQ=k_OA，可得x₂+x₁=-1，求出直線OP方程、直線QA方程，可得M的橫坐標為定值-

1

2

，由S_△PQA=4S_△PAM，得到QA=4AM，因為PQ∥OA，所以OP=4OM，從而可求P的坐標．

解答： 解：（1）設點P（x，y）為所求軌跡上的任意一點，則
由拋物線的定義知，得P點的軌跡為是以（0，

1

4

）為焦點，以y=-

1

4

為準線的拋物線…（3分）
所以軌跡C的方程為y=x²…（5分）
（2）設P（x₁，x12），Q（x₂，x22），由

PQ

=λ

OA

，可知直線PQ∥直線OA，
則k_PQ=k_OA
故

x22-x12

x2-x1

=

1-0

-1-0

，即x₂=-x₁-1…（6分）
所以直線OP方程為y=x₁x…①…（7分）
直線QA的斜率為

(-x1-1)2-1

-x1-1+1

=-x₁-2…（8分）
所以直線QA方程為y-1=-（-x₁-2）（x+1）
即y=-（x₁+2）x-x₁-1…②…（9分）
聯(lián)立①②，得x=-

1

2

，所以點M的橫坐標為定值-

1

2

…（10分）
由S_△PQA=4S_△PAM，得到QA=4AM，因為PQ∥OA，所以OP=4OM…（11分）
由

PO

=4

OM

，得x₁=2…（12分）
所以P的坐標為（2，4）…（13分）

點評：本題考查拋物線的定義域方程，考查向量知識的運用，考查三角形面積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．