Question

如圖在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AA₁=2，BC=1，點(diǎn)E、F、G分別是AA₁、AB、DD₁的中點(diǎn)．
（I）求證：FG∥平面BCD₁；
（II）求二面角A-CE-D的正弦值．

Answer 1

解：（I）過G作GM∥CD交CC₁于M，交D₁C于O，連接BO．
∵G為DD₁的中點(diǎn)，∴O為D₁C的中點(diǎn)
從而GO
故四邊形GFBO為平行四邊形…（3分）
∴GF∥BO
又GF?平面BCD₁，BO?平面BCD₁
∴GF∥平面BCD₁． …（5分）
（II）過A作AH⊥DE于H，過H作HN⊥EC于N，連接AN．
∵DC⊥平面ADD₁A₁，
∴CD⊥AH．
又∵AH⊥DE，
∴AH⊥平面ECD．
∴AH⊥EC． …（7分）
又HN⊥EC
∴EC⊥平面AHN．
故AN⊥CE，
∴∠ANH為二面角A-CE-D的平面角 …（9分）
在Rt△EAD中，∵AD=AE=1，∴AH=
在Rt△EAC中，∵EA=1，AC=，∴
∴…（12分）
分析：（I）過G作GM∥CD交CC₁于M，交D₁C于O，連接BO，可得O為D₁C的中點(diǎn)，所以GO，可得GF∥BO，再根據(jù)線面平行的判定定理證明線面平行．
（II）過A作AH⊥DE于H，過H作HN⊥EC于N，連接AN，由題意可得AH⊥并且AN⊥EC，可得∠ANH為二面角A-CE-D的平面角，再利用解三角形的有關(guān)知識求出答案即可．
點(diǎn)評：本小題主要考查空間線面的關(guān)系以及二面角的平面角，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力．