Question

中心在坐標原點，焦點在軸上的橢圓的離心率為，且經過點。若分別過橢圓的左右焦點、的動直線、相交于P點，與橢圓分別交于A、B與C、D不同四點，直線OA、OB、OC、OD的斜率、、、滿足．

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在定點M、N，使得為定值．若存在，求出M、N點坐標；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）；

（2）存在點M、N其坐標分別為(0 , -1)、(0, 1)，使得為定值．

【解析】

試題分析：（1）設橢圓方程為，則由題意知，則

，則橢圓方程為，代入點的坐標可得

，所求橢圓方程為

（2）當直線或斜率不存在時，P點坐標為(-1, 0)或(1, 0)．

當直線斜率存在時，設斜率分別為，，設，，

由得　，∴ ，．

，同理．∵， ∴，即．又，　∴．

設，則，即，

由當直線或斜率不存在時，P點坐標為(-1, 0)或(1, 0)也滿足，∴點橢圓上，則存在點M、N其坐標分別為(0 , -1)、(0, 1)，使得為定值．

考點：本題主要考查橢圓的標準方程及幾何性質，直線與橢圓的位置關系。

點評：中檔題，結合橢圓的幾何性質，應用“待定系數(shù)法”求得了橢圓方程。研究直線與圓錐曲線的位置關系，往往應用韋達定理，通過“整體代換”，簡化解題過程，實現(xiàn)解題目的。（II）中對兩直線斜率存在情況進行討論，易于忽視。