Question

7．圓O：x²+y²=4內(nèi)有一點P（-1，1）．
（1）當(dāng)弦AB被點P平分時，求出直線AB的方程；
（2）直線l₁和l₂為圓O的兩條動切線，且l₁⊥l₂，垂足為Q．求P，Q中點M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)弦AB被點P平分時，AB⊥OP，進(jìn)而得到得答案；
（2）直線l₁和l₂為圓O的兩條動切線，且l₁⊥l₂，且OAQB為正方形，進(jìn)而得到P，Q中點M的軌跡方程．

解答 解：（1）當(dāng)弦AB被點P平分時有AB⊥OP-----------------------------------（2分）
又∵直線OP的斜率k=-1，
∴直線AB的斜率為1，
∴直線AB的方程x-y+2=0．-----------------------（4分）
（2）設(shè)切線l₁和l₂與圓的切點分別是A，B，則四邊形OAQB為正方形．---------------（6分）
∴|OQ|=2$\sqrt{2}$．-----------------------------------------------------------（7分）
∴點Q 的軌跡是以O(shè)為圓心，半徑為2$\sqrt{2}$的圓．-------------------------------（8分）
∴點Q的軌跡方程為x²+y²=8，
設(shè)點M（x，y），Q（x₀，y₀），則由點M為PQ的中點得$\left\{\begin{array}{l}{x}_{0}=2x+1\\{y}_{0}=2y-1\end{array}\right.$--------------（10分）
又x₀²+y₀²=8
∴中點M的軌跡方程為（2x+1）²+（2y-1）²=8------（12分）

點評 本題考查的知識點是直線與圓的位置關(guān)系，軌跡方程，難度中檔．