Question

(本小題滿分14分)

設(shè)橢圓方程為拋物線方程為如圖4所示，過點(diǎn)作軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為G.已知拋物線在點(diǎn)G的切線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)

       （1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；

       （2）設(shè)A，B分別是橢圓長軸的左、右端點(diǎn)，試探究在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得為直角三角形？若存在，請(qǐng)指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)？并說明理由(不必具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)) 。

 

Answer 1

【答案】

（1）橢圓和拋物線的方程分別為和；

（2）存在，有4個(gè)點(diǎn)，理由見解析。

【解析】 對(duì)于（１）重點(diǎn)要抓住拋物線在點(diǎn)G的切線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)F₁，故先要設(shè)法求出點(diǎn)Ｇ及拋物線在點(diǎn)G的切線，再求F₁，利用同一個(gè)F₁求出b即可；對(duì)于（２）首先要注意直角三個(gè)角均有可能為直角，不要遺漏，對(duì)于為直角的情況可利用向量或斜率求解；

（1）由得，

當(dāng)得，G點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，

過點(diǎn)G的切線方程為即，

令得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，由橢圓方程得點(diǎn)的坐標(biāo)為，

即，

即橢圓和拋物線的方程分別為和；

（2）過作軸的垂線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn),以為直角的只有一個(gè)，同理以為直角的只有一個(gè)。

若以為直角，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和， 。

關(guān)于的二次方程有一解，有兩解，即以為直角的有兩個(gè)，因此拋物線上存在四個(gè)點(diǎn)使得為直角三角形。