Question

在公差不為零的等差數(shù)列{a_n}中，已知a₁=l，．且a₁，a₂，a₅依次成等比數(shù)列．?dāng)?shù)列{b_n}滿(mǎn)足b_n+1=2b_n-1且b_n=3．
（Ⅰ）求{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{

2

an•an+1

}的前n項(xiàng)和為S_n，試比較S_n與1一

1

bn

的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由等差數(shù)列的項(xiàng)a₁，a₂，a₅依次成等比數(shù)列列式求得公差，則等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求．由數(shù)列{b_n}的遞推式構(gòu)造出等比數(shù)列{b_n-1}，求出其通項(xiàng)公式后可得{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）把數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式代入數(shù)列{

2

an•an+1

}，利用裂項(xiàng)相消法求出其錢(qián)n項(xiàng)和與1-

1

bn

作差后根據(jù)n的范圍得到S_n與1-

1

bn

的大�。�

解答： 解：（Ⅰ）∵a₁=1，且a₁，a₂，a₅依次成等比數(shù)列，
∴

a

2 2

=a1•a5，即（1+d）²=1•（1+4d），
∴d²-2d=0，解得d=2（d=0不合要求，舍去）．
則a_n=1+2（n-1）=2n-1．
∵b_n+1=2b_n-1，
∴b_n+1-1=2（b_n-1）．
∴{b_n-1}是首項(xiàng)為b₁-1=2，公比為2的等比數(shù)列．
∴bn-1=2•2n-1=2n．
則bn=2n+1；
（Ⅱ）∵

2

an•an+1

=

2

(2n-1)(2n+1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

．
∴Sn=(

1

1

-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)=1-

1

2n+1

，
于是Sn-(1-

1

bn

)=1-

1

2n+1

-1+

1

2n+1

=

1

2n+1

-

1

2n+1

=

2n-2n

(2n+1)(2n+1)

．
∴當(dāng)n=1，2時(shí)，2n=2ⁿ，S_n=1-

1

bn

；
當(dāng)n≥3時(shí)，2n＜2ⁿ，S_n＜1-

1

bn

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了由數(shù)列遞推式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，訓(xùn)練了作差法證明數(shù)列不等式，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．