Question

【題目】如圖，已知直線(xiàn)：和直線(xiàn)：，射線(xiàn)的一個(gè)法向量為，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，直線(xiàn)和之間的距離為2，點(diǎn)，分別是直線(xiàn)和上的動(dòng)點(diǎn)，，于點(diǎn)，于點(diǎn).

（1）若，求的值；

（2）若，，且，試求的最小值；

（3）若，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1），（2）最小值為（3）32

【解析】

（1）由，求得，，進(jìn)而求得的值；

（2）當(dāng)，，可得，當(dāng)且僅當(dāng)取點(diǎn)時(shí)，取最小值；

（3）由，利用柯西不等式可得，得解.

解：（1）由，所以射線(xiàn)的一個(gè)法向量為，

所以射線(xiàn)的斜率為1，即射線(xiàn)的方程為：，

所以,,

所以,

直線(xiàn)：，,

所以,

故；

（2）當(dāng)，直線(xiàn)：和直線(xiàn)：，如圖所示，作出點(diǎn)關(guān)于

直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),則,

設(shè)，所以 ，

同理：由對(duì)稱(chēng)性可得：當(dāng)且僅當(dāng)取點(diǎn)時(shí)，取最小值，

故的最小值為；

（3）由題意有，，直線(xiàn)與之間的距離為2，

所以，即，

設(shè)，，

因?yàn)?/span>，所以，

又，即，

所以，

又，

所以，

故的最大值為32.