【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若直線與曲線
的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為
,且
,求整數(shù)
所有可能的值.
【答案】(1)詳見解析;(2).
【解析】試題分析:
(1)求出導(dǎo)函數(shù),根據(jù)
的值分下、負(fù)、0進(jìn)行討論,可得
的正負(fù),從而得單調(diào)性;
(2)即方程
的解,由于
,方程變形為
,這樣只要研究函數(shù)
的零點(diǎn)可能在哪個(gè)區(qū)間即可,由導(dǎo)數(shù)知
是
和
上的單調(diào)增函數(shù),計(jì)算
可得結(jié)論.
試題解析:
(1)解: ,∴
,
①若時(shí),
在
上恒成立,所以函數(shù)
在
上單調(diào)遞增;
②若時(shí),當(dāng)
時(shí),
,函數(shù)
單調(diào)遞增,
當(dāng)時(shí),
,函數(shù)
單調(diào)遞減;
③若時(shí),當(dāng)
時(shí),
,函數(shù)
單調(diào)遞減,
當(dāng)時(shí),
,函數(shù)
單調(diào)遞增.
綜上,若時(shí),
在
上單調(diào)遞增;
若時(shí),函數(shù)
在
內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間
內(nèi)單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),函數(shù)
在區(qū)間
內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間
內(nèi)單調(diào)遞減,
(2)由題可知,原命題等價(jià)于方程在
上有解,
由于,所以
不是方程的解,
所以原方程等價(jià)于,令
,
因?yàn)?/span>對(duì)于
恒成立,
所以在
和
內(nèi)單調(diào)遞增.
又,
所以直線與曲線
的交點(diǎn)有兩個(gè),
且兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別在區(qū)間和
內(nèi),
所以整數(shù)的所有值為-3,1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
,
.
(1)若存在極值點(diǎn)1,求
的值;
(2)若存在兩個(gè)不同的零點(diǎn),求證:
(
為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),
).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以下四個(gè)命題中:
①為了了解800名學(xué)生對(duì)學(xué)校某項(xiàng)教改試驗(yàn)的意見,打算從中抽取一個(gè)容量為40的樣本,考慮用系統(tǒng)抽樣,則分段的間隔k為40.
②線性回歸直線方程 恒過樣本中心(
,
),且至少過一個(gè)樣本點(diǎn);
③在某項(xiàng)測(cè)量中,測(cè)量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N(2,σ2)(σ>0).若ξ在(﹣∞,1)內(nèi)取值的概率為0.1,則ξ在(2,3)內(nèi)取值的概率為0.4;
其中真命題的個(gè)數(shù)為( )
A.0
B.1
C.2
D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為
,直線
與拋物線
交于
兩點(diǎn).
(Ⅰ)若直線過焦點(diǎn)
,且與圓
交于
(其中
在
軸同側(cè)),求證:
是定值;
(Ⅱ)設(shè)拋物線在
和
點(diǎn)的切線交于點(diǎn)
,試問:
軸上是否存在點(diǎn)
,使得
為菱形?若存在,請(qǐng)說明理由并求此時(shí)直線
的斜率和點(diǎn)
的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2﹣2ax+b(a>0)在區(qū)間[﹣1,4]上有最大值10和最小值1.設(shè)g(x)= .
(1)求a、b的值;
(2)證明:函數(shù)g(x)在[ ,+∞)上是增函數(shù);
(3)若不等式g(2x)﹣k2x≥0在x∈[﹣1,1]上有解,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)= +lg(2x+1)的定義域?yàn)椋?/span> )
A.(﹣5,+∞)
B.[﹣5,+∞)
C.(﹣5,0)
D.(﹣2,0)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)y=f(x)的定義域是[0,2],則函數(shù)g(x)= 的定義域是( )
A.[0,1)∪(1,2]
B.[0,1)∪(1,4]
C.[0,1)
D.(1,4]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了研究一片大約一萬株樹木的生長(zhǎng)情況,隨機(jī)測(cè)量了其中100株樹木的底部周長(zhǎng)(單位:cm),根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出的樣本頻率分布直方圖如圖,那么在這片樹木中底部周長(zhǎng)大于100cm的株樹大約中( )
A.3000
B.6000
C.7000
D.8000
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣2ax+5(a>1).
(1)若函數(shù)f(x)的定義域和值域均為[1,a],求實(shí)數(shù)a的值;
(2)若f(x)在區(qū)間(﹣∞,2],上是減函數(shù),且對(duì)任意的x1 , x2∈[1,a+1],總有|f(x1)﹣f(x2)|≤4,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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