Question

如圖，在三棱臺(tái)A₁B₁C₁－ABC中，已知A₁A⊥底面ABC，A₁A= A₁B₁= B₁C₁=a，B₁B⊥BC，且B₁B和底面ABC所成的角45º，求這個(gè)棱臺(tái)的體積．

Answer 1

．

解：因?yàn)?i>A₁A⊥底面ABC，所以根據(jù)平面的垂線的定義有A₁A⊥BC．又BC⊥BB₁，且棱AA₁和BB₁的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，所以利用直線和平面垂直的判定定理可以推出BC⊥側(cè)面A₁ABB₁，從而根據(jù)平面的垂線的定義又可得出BC⊥AB．

∴△ABC是直角三角形，∠ABC=90º．并且∠ABB₁就是BB₁和底面ABC所成的角，
∠ABB₁=45º．                                                   ——3分
作B₁D⊥AB交AB于D，則B₁D∥A₁A，故B₁D⊥底面ABC．
∵ Rt△B₁DB中∠DBB₁=45º，
∴DB=DB₁=AA₁=a，                      
∴AB=2a．                   ——6分
由于棱臺(tái)的兩個(gè)底面相似，故
Rt△ABC∽R(shí)t△A₁B₁C₁．
∵B₁C₁=A₁B₁=a，AB=2a，
∴BC=2a．
∴S_上=A₁B₁×B₁C₁=．
S_下=AB×BC=2a²．                                                ——8分
V棱臺(tái)=·A₁A·
=·a·                            ——10分