Question

已知a＞0，函數(shù)
（Ⅰ）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在（-1，1）上的極值；
（Ⅲ）若在區(qū)間上至少存在一個實數(shù)x₀，使f（x₀）≥g（x₀）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）由，得：f^′（x）=a²x²-2ax．
當a=1時，，此時f^′（1）=-1，．
所以，f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=-1×（x-1），即x+y-1=0；
（Ⅱ）由f^′（x）=a²x²-2ax=0得：x=0，或x=，
當0＜，即a＞2時，因為x∈（-1，1），
由f^′（x）＞0?-1＜x＜0或．
由f^′（x）＜0?．
所以f（x）在（-1，0]上遞增，在（0，]上遞減，在上遞增．
故在（-1，1）上，，．
當，即0＜a≤2時，f（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增，在（0，1）上遞減
故在（-1，1）上，，無極小值；
（Ⅲ）設F（x）=f（x）-g（x）=，x∈[，]．
則F^′（x）=a²x²-2ax+a=a²x²+a（1-2x）．
因為，a＞0，所以F^′（x）＞0．
故F（x）在區(qū)間上為增函數(shù)．
所以，
若在區(qū)間上至少存在一個實數(shù)x₀，使f（x₀）≥g（x₀）成立，所以需F（x）_max≥0．
即，
所以a²+6a-8≥0．
解得：或．
因為a＞0，所以a的取值范圍是[，+∞）．
分析：（Ⅰ）把a代入函數(shù)解析時候，求出f（1）及f^′（1），利用直線方程的點斜式可求切線方程；
（Ⅱ）把原函數(shù)求導，得到導函數(shù)后求出導函數(shù)的零點，對a進行分類討論得原函數(shù)在不同區(qū)間上的單調(diào)性，從而求出函數(shù)f（x）在（-1，1）上的極值；
（Ⅲ）利用函數(shù)的導函數(shù)求出函數(shù)f（x）與g（x）的差函數(shù)在上的最大值，把在區(qū)間上至少存在一個實數(shù)x₀，使f（x₀）≥g（x₀）成立，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)f（x）與g（x）的差函數(shù)在上的最大值大于等于0，然后列式可求a的范圍．
點評：本題考查了利用函數(shù)的導函數(shù)求曲線上點的切線方程的方法，考查了利用導函數(shù)求閉區(qū)間上的最值，考查了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想，解答此題的關鍵是把在區(qū)間上至少存在一個實數(shù)x₀，使f（x₀）≥g（x₀）成立，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)f（x）與g（x）的差函數(shù)在上的最大值大于等于0，該轉(zhuǎn)化理解起來有一定難度．