Question

如圖，橢圓C₁：的離心率為，x軸被曲線C₂：y=x²-b截得的線段長等于C₁的長半軸長。
（Ⅰ）求C₁，C₂的方程；
（Ⅱ）設(shè)C₂與y軸的交點(diǎn)為M，過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l與C₂相交于點(diǎn)A，B，直線MA，MB分別與C₁相交與D，E，
（�。┳C明：MD⊥ME；
（ⅱ）記△MAB，△MDE的面積分別是S₁，S₂，問：是否存在直線l，使得=? 請說明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意知，從而a=2b，
又，解得a=2，b=1，
故C₁，C₂的方程分別為。
（Ⅱ）（�。┯深}意知，直線l的斜率存在，設(shè)為k，則直線l的方程為y=kx，
由得，
設(shè)，則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，于是，
又點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，-1），
所以，
故MA⊥MB，即MD⊥ME。
（ⅱ）設(shè)直線的斜率為k₁，則直線的方程為y=k₁x-1，
由解得或，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為，
又直線MB的斜率為，
同理可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為，
于是，
由得，
解得或，
則點(diǎn)D的坐標(biāo)為；
又直線ME的斜率為，同理可得點(diǎn)E的坐標(biāo)，
于是，
因此，
由題意知，解得或，
又由點(diǎn)A，B的坐標(biāo)可知，，所以，
故滿足條件的直線l存在，且有兩條，其方程分別為和。