Question

已知橢圓

x2

9

+

y2

5

=1上任意一點P，A₁，A₂是橢圓的左、右頂點，設(shè)直線PA₁，PA₂斜率分別為k PA1，k PA2，則k PA1•k PA2=

 

，現(xiàn)類比上述求解方法，可以得出以下命題：已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1上任意一點P，A₁，A₂是雙曲線的左、右頂點，設(shè)直線PA₁，PA₂斜率分別為k PA1，k PA2，則k PA1•k PA2=

 

．

Answer 1

考點：類比推理

專題：推理和證明

分析：（1）先求出橢圓

x2

9

+

y2

5

=1的左、右頂點分別為A₁，A₂，設(shè)P（x₀，y₀），再求出直線PA₁的斜率為k PA1，直線PA₂的斜率為k PA2，由此列出k PA1•k PA2的式子，根據(jù)等價轉(zhuǎn)化思想求出k₁•k₂的值即可；
（2）類比上述求解方法，在雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1上，設(shè)直線PA₁，PA₂斜率分別為k PA1，k PA2，則k PA1•k PA2=-

-b2

a2

=

b2

a2

，據(jù)此解答即可．

解答： 解：（1）橢圓

x2

9

+

y2

5

=1的左、右頂點分別為A₁，（-3，0），A₂，（3，0），
設(shè)P（x₀，y₀），
則k PA1•k PA2=

y0

x0+3

•

y0

x0-3

=

y02

x02-9

，
∵P（x₀，y₀）在橢圓上，
∴

x02

9

+

y02

5

=1
∴y02=

5

9

（9-x02）
∴k PA1•k PA2=

y0

x0+3

•

y0

x0-3

=

y02

x02-9

=

5

9

•

9-x02

x02-9

=-

5

9

（2）類比上述求解方法，在雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1上，
設(shè)直線PA₁，PA₂斜率分別為k PA1，k PA2，
則k PA1•k PA2=-

-b2

a2

=

b2

a2

．
故答案為：-

5

9

、

b2

a2

．

點評：本題主要考查了類比推理的思想和方法，考查運算求解能力，解題時要注意橢圓性質(zhì)的靈活運用．