Question

2．過拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，|AB|=8p，且S_△AOB=4，則p的值為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 4
• D． 6

Answer 1

分析 設(shè)出過拋物線C焦點(diǎn)F的直線方程以及直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)，由|AB|=|AF|+|BF|=8p，求出直線AB的方程，再由△AOB的面積求出p的值．

解答 解：∵拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F（$\frac{p}{2}$，0），
∴設(shè)過拋物線C焦點(diǎn)F的直線方程為：y=k（x-$\frac{p}{2}$），
且直線l交拋物線于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，
∴|AB|=|AF|+|BF|=（x₁+$\frac{p}{2}$）+（x₂+$\frac{p}{2}$）=x₁+x₂+p=8p，
∴x₁+x₂=7p；
又直線與拋物線聯(lián)立，得$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{y=k（x-\frac{p}{2}）}\end{array}\right.$，
消去y，得k²x²-（k²+2）px+$\frac{{p}^{2}}{4}$=0，
∴x₁+x₂=$\frac{{（k}^{2}+2）p}{{k}^{2}}$；
即$\frac{{（k}^{2}+2）p}{{k}^{2}}$=7p，
∴k²=$\frac{1}{3}$，
不妨取k=$\frac{1}{\sqrt{3}}$；
則原點(diǎn)O到直線AB：kx-y-$\frac{kp}{2}$=0的距離為
d=$\frac{\frac{kp}{2}}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{\frac{p}{2\sqrt{3}}}{\sqrt{\frac{1}{3}+1}}$=$\frac{p}{4}$，且|AB|=8p，
∴△AOB的面積為
S_△AOB=$\frac{1}{2}$•d•|AB|=$\frac{1}{2}$•$\frac{p}{4}$•8p=4，
解得p=±2，應(yīng)取p的值為2．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與拋物線的應(yīng)用問題，也考查了方程組思想以及根與系數(shù)的應(yīng)用問題，考查了三角形面積的計(jì)算問題，是綜合性題目．