Question

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且asinB-bcosC=ccosB．
（Ⅰ）判斷△ABC的形狀；
（Ⅱ）若，求f（A）的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）法1：利用正弦定理化簡已知的等式，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式變形，根據(jù)sinA不為0，可得出sinB=1，利用特殊角的三角函數(shù)值得到B為直角，即可判斷出三角形ABC為直角三角形；
法2：利用余弦定理化簡已知的等式，整理后根據(jù)a不為0，得到sinB=1，利用特殊角的三角函數(shù)值得到B為直角，即可判斷出三角形ABC為直角三角形；
（Ⅱ）把f（x）解析式第一、三項(xiàng)結(jié)合，利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，得到關(guān)于cosx的二次函數(shù)，配方后利用二次函數(shù)的性質(zhì)及余弦函數(shù)的值域，即可得到f（A）的范圍．
解答：解：（Ⅰ）法1：∵asinB-bcosC=ccosB，
由正弦定理可得：sinAsinB-sinBcosC=sinCcosB．
即sinAsinB=sinCcosB+cosCsinB，
∴sin（C+B）=sinAsinB，
∵在△ABC中，A+B+C=π，即C+B=π-A，
∴sin（C+B）=sinA=sinAsinB，又sinA≠0，
∴sinB=1，即B=，
則△ABC為B=的直角三角形；
法2：∵asinB-bcosC=ccosB，
由余弦定理可得asinA=b•+c•，
整理得：asinB=a，
∵a≠0，∴sinB=1，
∴在△ABC中，B=，
則△ABC為B=的直角三角形；
（Ⅱ）∵f（x）=cos2x-cosx+=cos²x-cosx
=（cosx-）²-，
∴f（A）=（cosA-）²-，
∵△ABC為B=的直角三角形，
∴0＜A＜，且0＜cosA＜1，
∴當(dāng)cosA=時(shí)，f（A）有最小值是-，
則f（A）的取值范圍是[-，）．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式，余弦函數(shù)的定義域與值域，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．