Question

函數(shù)f(x)=cos(-

x

2

)+sin(π-

x

2

)，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的對稱軸方程；
（2）求f（x）在[0，π]上的減區(qū)間．

Answer 1

分析：可先對函數(shù)f(x)=cos(-

x

2

)+sin(π-

x

2

)，x∈R進(jìn)行化簡，得到f(x)=cos(-

x

2

)+sin(π-

x

2

)=

2

sin(

x

2

+

π

4

)
（1）由正弦函數(shù)的性質(zhì)令相位

x

2

+

π

4

=kπ+

π

2

，解出x即可得到對稱軸方程；
（2）由正弦函數(shù)的性質(zhì)令2kπ-

π

2

＜

x

2

+

π

4

＜2kπ+

π

2

解出x的范圍，再與[0，π]取交集得到f（x）在[0，π]上的減區(qū)間

解答：解：由題意f(x)=cos(-

x

2

)+sin(π-

x

2

)=

2

sin(

x

2

+

π

4

)
（1）令相位

x

2

+

π

4

=kπ+

π

2

，解得，函數(shù)的對稱軸方程為：x=2kπ+

π

2

(k∈Z)…（4分）
（2）令2kπ-

π

2

＜

x

2

+

π

4

＜2kπ+

π

2

，解得4kπ-

3π

2

＜x＜4kπ+

π

2

，
即函數(shù)的遞減區(qū)間是[4kπ-

3π

2

，4kπ+

π

2

]，k∈z
故f（x）在[0，π]上的減區(qū)間為：[

π

2

，π]…（5分）

點評：本題考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正弦函數(shù)的性質(zhì)--單調(diào)性、圖象的對稱性，本題是三角函數(shù)基本性質(zhì)考查題，其設(shè)計的主要目的是考查基本知識與基本技能的掌握情況．正弦函數(shù)的性質(zhì)也是近幾年高考的熱點，熟練掌握、靈活運用方能正確快速解答出此類題．