Question

已知橢圓的中心、上頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)構(gòu)成面積為1的等腰直角三角形．
（1）求橢圓的方程；
（2）若A、B分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)M滿(mǎn)足MB⊥AB，連接AM，交橢圓于P點(diǎn)，試問(wèn)：在x軸上是否存在異于點(diǎn)A的定點(diǎn)C，使得以MP為直徑的圓恒過(guò)直線(xiàn)BP、MC的交點(diǎn)，若存在，求出C點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）由題意知解得b=c=，從而a=2．
∴橢圓方程為 （4分）
（2）A（-2，0），B（2，0），
可設(shè)直線(xiàn)AM的方程為y=k（x+2），P（x₁，y₁），MB⊥AB，∴M（2，4k），
直線(xiàn)AM代入橢圓方程x²+2y²=4，
得 （1+2k²）x²+8k²x+8k²-4=0（6分）
∴，
∴x₁=，
∴P（，），
設(shè)C（x₀，0），且x₀≠-2，以MP為直徑的圓恒過(guò)直線(xiàn)BP、MC的交點(diǎn)，則
MC⊥BP，∴=0，即：（2-x₀）+4k=，
∴x₀=0，
故存在異于點(diǎn)A的定點(diǎn)C（0，0），使得以MP為直徑的圓恒過(guò)直線(xiàn)BP、MC的交點(diǎn)．
分析：（1）由題意知解得b，c，從而a=2．最后寫(xiě)出橢圓方程；
（2）可設(shè)直線(xiàn)AM的方程為y=k（x+2），將直線(xiàn)的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系求出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)x₁，再利用向量垂直即可求得C點(diǎn)的橫坐標(biāo)x₀，從而解決問(wèn)題．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)和橢圓的位置關(guān)系、考查存在性問(wèn)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．