Question

過橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的右焦點F₂的直線交橢圓于于M，N兩點，令|F₂M|=m，|F₂N|=n，則

mn

m+n

=

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），若過F₂的直線存在斜率，設為k，所以這條直線的方程為y=k（x-1），聯(lián)立橢圓的方程可以消去y，得到關(guān)于x的方程，根據(jù)韋達定理即可求出x₁+x₂，x₁x₂．根據(jù)橢圓上的點到右焦點的距離和它到右準線的距離的比為離心率e，即可用x₁，x₂表示m，n，帶入

mn

m+n

中用上韋達定理得出的x₁+x₂，x₁x₂即可求出

mn

m+n

．若這條直線不存在斜率，可求得方程為x=1，帶入橢圓方程即可求得y值，從而得到M，N兩點的坐標，從而可以求出m，n帶入

mn

m+n

即可．

解答： 解：若過F₂的直線存在斜率時，設斜率為k，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則該直線的方程為y=k（x-1），
聯(lián)立橢圓方程：

x2

4

+

y2

3

=1得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0；
x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

；
該橢圓的右準線方程為：x=4，e=

1

2

，點M，N到準線的距離分別為：4-x₁，4-x₂；
∴根據(jù)橢圓上的點到右焦點的距離與它到右準線的距離的比為e：

1

2

，可以得到：
m=

1

2

（4-x₁），n=

1

2

（4-x₂）；
∴

mn

m+n

=

1 4 (4-x1)(4-x2)

1 2 [8-(x1+x2)]

=

x1x2-4(x1+x2)+16

16-2(x1+x2)

=

4k2-12 3+4k2 - 32k2 3+4k2 +16

16- 16k2 3+4k2

=

36k2+36

48k2+48

=

3

4

；
若過F₂的直線不存在斜率時，該直線方程為：x=1，帶入橢圓方程得到y(tǒng)=±

3

2

，不妨設M（1，

3

2

），則N(1，-

3

2

)；
∴m=

3

2

，n=

3

2

，∴

mn

m+n

=

9 4

3

=

3

4

；
綜上得

mn

m+n

=

3

4

．
故答案為：

3

4

．

點評：考查橢圓的標準方程，焦點，準線，離心率，直線的方程以及韋達定理．