Question

下列說法：
①命題“?x∈R，2^x≤0”的否定是“?x∈R，2^x＞0”；
②關(guān)于x的不等式a＜sin²x+

2

sin2x

恒成立，則a的取值范圍是a＜3；
③對于函數(shù)f（x）=

ax

1+|x|

（a∈R且a≠0），則有當(dāng)a=1時，?k∈（1，+∞），使得函數(shù)g（x）=f（x）-kx在R上有三個零點(diǎn)；
其中正確的個數(shù)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：閱讀型,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①通過含義一個兩次的命題的否定形式，即可判斷；
②關(guān)于x的不等式a＜sin²x+

2

sin2x

恒成立?a＜t+

2

t

恒成立，令t=sin²x（0＜t≤1），通過求導(dǎo)，求出t+

2

t

的最小值即可；
③若g（x）=f（x）-kx在R上有三個零點(diǎn)，即f（x）=kx，

x

1+|x|

=kx，有一根0，k=

1

1+|x|

有兩根，則0＜k＜1，即可判斷．

解答： 解：①命題“?x∈R，2^x≤0”的否定是“?x∈R，2^x＞0”，故①對；
②令t=sin²x（0＜t≤1），則sin²x+

2

sin2x

=t+

2

t

，（t+

2

t

）′=1-

2

t2

＜0，則（0，1]為減區(qū)間，
t=1時，t+

2

t

取最小為3，又關(guān)于x的不等式a＜sin²x+

2

sin2x

恒成立，故a＜3．故②對；
③對于函數(shù)f（x）=

ax

1+|x|

（a∈R且a≠0），則有當(dāng)a=1時，f（x）=

x

1+|x|

，
若g（x）=f（x）-kx在R上有三個零點(diǎn)，即f（x）=kx，

x

1+|x|

=kx，有一根0，k=

1

1+|x|

有兩根，則0＜k＜1，故③錯．
故答案為：2．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性和應(yīng)用：求最值，同時考查命題的否定和存在性命題的判斷，屬于中檔題．