【題目】已知數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.

【答案】（1）（2）證明見解析；

【解析】

（1）根據(jù)原等式遞推，得到和之間的關(guān)系，然后得到數(shù)列是等差數(shù)列，最后根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，也可將已知等式轉(zhuǎn)化為和之間的關(guān)系式，得到數(shù)列是等差數(shù)列，并求出，再根據(jù)和之間的關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）先由（1）得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，并將其轉(zhuǎn)化為可以裂項(xiàng)的形式，再利用裂項(xiàng)相消法求得，最后根據(jù)數(shù)列的增減性即可證明.

解：（1）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，①

所以，②

②-①得，，即，即，

又，所以，

所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，

所以，所以.

故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.

（2）由（1）知，

所以，

所以

.

又?jǐn)?shù)列是遞減數(shù)列，所以，

所以，

故.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位.已知圓和圓的極坐標(biāo)方程分別是和.

（1）求圓和圓的公共弦所在直線的直角坐標(biāo)方程；

（2）若射線：與圓的交點(diǎn)為O、P，與圓的交點(diǎn)為O、Q，求的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，為的中點(diǎn).

(Ⅰ)求證：平面；

(Ⅱ) 求，，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】橢圓的右焦點(diǎn)為F到直線的距離為，拋物線的焦點(diǎn)與橢圓E的焦點(diǎn)F重合，過F作與x軸垂直的直線交橢圓于S，T兩點(diǎn)，交拋物線于C，D兩點(diǎn)，且．

（1）求橢圓E及拋物線G的方程;

（2）過點(diǎn)F且斜率為k的直線l交橢圓于A，B點(diǎn)，交拋物線于M，N兩點(diǎn)，如圖所示，請(qǐng)問是否存在實(shí)常數(shù)，使為常數(shù)，若存在，求出的值;若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2020年3月22日是第二十八屆“世界水日”3月22-28日是第三十三屆“中國(guó)水周”，主題為“堅(jiān)持節(jié)水優(yōu)先，建設(shè)幸福河湖”，效仿階梯電價(jià)，某市準(zhǔn)備實(shí)施階梯水價(jià).階梯水價(jià)原則上以一套住宅（一套住宅為一戶）的月用水量為基準(zhǔn)，具體劃分階梯如下：

梯類

第一階梯

第二階梯

第三階梯

月用水量范圍（立方米）

從本市居民用戶中隨機(jī)抽取10戶，并統(tǒng)計(jì)了在同一個(gè)月份的月用水量，得到如圖所示的莖葉圖

（1）若從這10戶中任意抽取三戶，求取到第二階梯用戶數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）用以上樣本估計(jì)全市的居民用水情況，現(xiàn)從全市隨機(jī)抽取10戶，則抽到多少戶為第二階梯用戶的可能性最大？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)以的邊為長(zhǎng)軸且過點(diǎn)的橢圓的方程為橢圓的離心率，面積的最大值為，和所在的直線分別與直線相交于點(diǎn)，.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)與的外接圓的面積分別為，，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知為圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)滿足

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；

（2）設(shè)為直線上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求面積的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】學(xué)號(hào)為1，2，3的三位小學(xué)生，在課余時(shí)間一起玩“擲骰子爬樓梯”游戲，規(guī)則如下：投擲一顆骰子，將每次出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)除以3，若學(xué)號(hào)與之同余(同除以3余數(shù)相同)，則該小學(xué)生可以上2階樓梯，另外兩位只能上1階樓梯，假定他們都是從平地(0階樓梯)開始向上爬，且樓梯數(shù)足夠多.

（1）經(jīng)過2次投擲骰子后，學(xué)號(hào)為1的同學(xué)站在第X階樓梯上，試求X的分布列；

（2）經(jīng)過多次投擲后，學(xué)號(hào)為3的小學(xué)生能站在第n階樓梯的概率記為，試求，，的值，并探究數(shù)列可能滿足的一個(gè)遞推關(guān)系和通項(xiàng)公式.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，且的最小值為．

（1）求實(shí)數(shù)的值及函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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