Question

有一個(gè)雪花曲線序列，其產(chǎn)生的規(guī)則是：將正三角形k₀的每一邊三等分，而以其居中的那一線段為底邊向外作等邊三角形，再擦去中間的那條邊，便得第一條雪花曲線k₁，再將k₁的每一邊三等分，并重復(fù)上述作法，便得第二條雪花曲線k₂…把k_n-1的每一邊三等分，并以中間那條線段向外作等邊三角形， 再擦去中間的那條邊， 便得第n條雪花曲線k_n(n=2，3，4，…)。

（1）　　   設(shè)k₀的周長(zhǎng)為L₀，即正三角形的周長(zhǎng)，求k_n，即第n條雪花曲線的周長(zhǎng)L_n；

（2）　　   設(shè)k₀的面積為A₀，即正三角形的面積，求k_n即第n條雪花曲線圍成的面積A_n；

（3）隨著n的增大，L_n和A_n的極限是否存在？

 

 

Answer 1

答案：
解析：

解：（1）在雪花曲線序列中，將kn-1變?yōu)?i style='mso-bidi-font-style:normal'>kn，后一曲線的同等是前一曲線同等的，即，∴ 。 （2）k0，k1，k2，…，kn，…的邊數(shù)依次為3，3×4，3×42，…，3×4n，…，因此，k1比k0多出了3個(gè)面積為的正三角形，k2比k1多出了3×4個(gè)面積為的正三角形，…，kn比kn-1多出了3×4n-1個(gè)面積為的正三角形，于是有 。 由 可得 (3)由知，Ln的極限不存在。而。