Question

已知f(x)、g(x)都是定義在R上的函數(shù)，如果存在實(shí)數(shù)m,n使得h(x)=mf(x)+ng(x),那么稱h(x)為f(x)、g(x)在R上生成的一個(gè)函數(shù)，設(shè)f(x)=x²+ax,g(x)=x+b,(a,b∈R),r(x)=2x²+3x-1,h(x)為f(x)、g(x)在R上生成的一個(gè)二次函數(shù)。

（1）設(shè)a=1,b=2,若h(x)為偶函數(shù)，求h()；

（2）設(shè)b>0，若h(x)同時(shí)也是g(x)、r(x)在R上生成的一個(gè)函數(shù)，求a+b的最小值；

（3）試判斷h(x)能否為任意一個(gè)二次函數(shù)，并證明你的結(jié)論。

Answer 1

（1）當(dāng)a=1,b=2時(shí)，h(x)=mx²+(m+n)x+2n為偶函數(shù)，則m+n=0, h()=0

   （2）由題意，設(shè)h(x)=m(x²+ax)+n(x+b)=k(x+b)+t(2x²+3x-1)

則m=2t,am+n=kb+t,nb=kb-t,得

所以

   （3）令h(x)=Ax²+Bx+C= m(x²+ax)+n(x+b)

得：A=m,am+n=B,C=nb,所以n=B-aA=C/b

所以當(dāng)B-aA=C/b時(shí)才成立，即h(x)不能為任意一個(gè)二次函數(shù)