Question

給出下列命題：
（1）函數(shù)y=

x2+5

x2+4

的最小值是2；
（2）函數(shù)y=sinx+

4

sinx

的最小值為4；
（3）無(wú)論α怎樣變化，直線xcosα+ysinα+1=0與圓x²+y²=1總相切．
（4）圓x²+y²+2x+4y-3=0上到直線x+y+1=0的距離為

2

的點(diǎn)有3個(gè)．
上述命題中，正確命題的番號(hào)是

（3）（4）

．

Answer 1

分析：對(duì)于（1）先將 y=

x2+5

x2+4

化為 y=

x2+4

+

1

x2+4

形式，但是不能直接用基本不等式求最值，因?yàn)榈忍?hào)取不到，可采用導(dǎo)數(shù)判單調(diào)性求最值．
對(duì)于（2）根據(jù)三角函數(shù)的范圍得到sinx的范圍，函數(shù)y=sinx+

4

sinx

的值可以取到負(fù)值，即可判斷．
（3）由圓的方程找出圓心坐標(biāo)與半徑r，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到已知直線的距離d，比較d與r的大小即可得到直線與圓的位置關(guān)系．
（4）由圓心到直線的距離等于半徑的一半，可知圓上有三個(gè)點(diǎn)到直線x+y+1=0的距離為

2

．

解答：解：（1）y=

x2+5

x2+4

=

x2+4

+

1

x2+4

，
令t=

x2+4

，則t≥2，則 y=t+

1

t

y′=1-

1

t2

≥0，所以 y=t+

1

t

在[2，+∝）上是增函數(shù)，
所以 y=t+

1

t

在[2，+∝）上的最小值是2+

1

2

=

5

2

，故錯(cuò)；
（2）根據(jù)三角函數(shù)的范圍得到sinx的范圍，函數(shù)y=sinx+

4

sinx

的值可以取到負(fù)值，故錯(cuò)；
（3）由題設(shè)知圓心到直線的距離 d=

|1|

cos2θ+sin2θ

=1=r，圓的半徑 r=1，
所以直線xcosθ+ysinθ-2=0與圓x²+y²=1的位置關(guān)系是相切．正確；
（4）圓x²+y²+2x+4y-3=0的圓心（-1，-2）到直線x+y+1=0的距離為

|-1-2+1|

2

=

2

，是半徑2

2

的一半，故圓上有三個(gè)點(diǎn)到直線x+y+1=0的距離為

2

，正確．
故答案為：（3）（4）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用基本不等式求最值，利用基本不等式求最值時(shí)要注意等號(hào)是否能取到，容易出錯(cuò)．還考查直線與圓的位置關(guān)系的判斷，以及轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法，圓心到直線的距離為d，當(dāng)d＞r，直線與圓相離；當(dāng)d=r，直線與圓相切；當(dāng)d＜r，直線與圓相交，屬于基礎(chǔ)題．