Question

已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-kx（k∈R）
（Ⅰ）若f（x）的最大值為0，求k的值；
（Ⅱ）已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，．
（�。┣笞C：a₁+a₂+a₃+…a_n＜2；
（ⅱ）是否存在n∈N^*，使得a_n∉（0，1]，若不存在，請(qǐng)給予證明；若存在，請(qǐng)求出n．

Answer 1

（Ⅰ）解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，+∞），（求出導(dǎo)數(shù)給1分）
①當(dāng)k≤0時(shí)，令x=e-1，則f（e-1）=1-（e-1）k＞0不滿足題意（x可以取任意的正數(shù)）…（3分）
②當(dāng)k＞0，
令f′（x）＞0，∵x+1＞0，
∴f′（x）＞0，
∴-kx+（1-k）＞0，
∴
∴f（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
∴，即，
∴k-lnk-1=0，
∴k=1（求出k=1…2分）
設(shè)g（x）=k-lnk-1，，所以g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以k=1是唯一解．
綜上所述k=1時(shí)，f（x）的最大值為0（說明唯一性1分）
（Ⅱ）（�。┳C明：由（Ⅰ）知，f（x）=ln（1+x）-x≤0，∴l(xiāng)n（1+x）≤x，
∴l(xiāng)n（1+a_n+1）≤a_n+1，∴
∴
∴，
即…（8分）
∴…（10分）
（ⅱ）不存在，…（11分）（如果探索后給出正確的結(jié)論給（1分），只給結(jié)論不得分）
由（�。┑�，只需證明a_n＞0
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：a_n＞0對(duì)任意的正整數(shù)都成立
①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1＞0（與后面的綜上所述合起來1分）
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，a_k＞0，則n=k+1時(shí)，
構(gòu)造函數(shù)，，
令，
∵1+x＞0，∴x＜1，∴h（x）在（-1，1）上單調(diào)遞增，
∵0＜a_k≤1，a_k+1=h（a_k）=
∴n=k+1時(shí)，a_k+1＞0
綜合①②對(duì)任意的n∈N^*，a_n＞0都成立．
（從n=k到n=k+1說清楚給2分）
綜上，對(duì)任意的n∈N^*，a_n∈（0，1]都成立．
∴不存在n∈N^*，使得a_n∉（0，1]．
分析：（Ⅰ）確定函數(shù)的定義域，求出導(dǎo)函數(shù)，再分類討論：①當(dāng)k≤0時(shí)，不滿足題意（x可以取任意的正數(shù)）；②當(dāng)k＞0，確定函數(shù)的單調(diào)性，利用f（x）的最大值為0，可求k的值；
（Ⅱ）（�。┯桑á瘢┲�，f（x）=ln（1+x）-x≤0，所以ln（1+x）≤x，從而可得，進(jìn)一步可得，再利用等比數(shù)列的求和公式，即可得到結(jié)論；
（ⅱ）不存在，由（�。┑�，只需證明a_n＞0，用數(shù)學(xué)歸納法證明：a_n＞0對(duì)任意的正整數(shù)都成立即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，單調(diào)性，數(shù)列遞推關(guān)系、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法不等式恒成立等知識(shí)；同時(shí)考查學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化能力能力、探索數(shù)學(xué)交匯問題的解決策略；考查數(shù)學(xué)建模思想，函數(shù)、方程思想的綜合應(yīng)用．