如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC。
（1）設(shè)E是DC的中點，求證：D1E∥平面A1BD；
（2）求二面角A1-BD-C1的余弦值。
解：（1）證明：連結(jié)B，則四邊形DABE為正方形
∴BE=AD=A1D1，且BE∥AD∥A1D1
∴四邊形A1D1EB為平行四邊形
∴D1E∥A1B
又D1E平面A1BD，A1B平面A1BD，
∴D1E∥平面A1BD。
（2）以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸， z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨設(shè)DA=1，則 D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C1（0，2，2），A1（1，0，2）
∴
設(shè)n=（x，y，z）為平面A1BD 的一個法向量，由
得
取z=1，則n=（-2，2，1）
又
設(shè)m=（x1，y1，z1）為平面C1BD的一個法向量
由
得
取z1=1，則m=（1，-1，1）
設(shè)m與n的夾角為α，二面角A1-BD-C1為θ，顯然θ為銳角
∴
∴
即所求二面角A1-BD-C1的余弦值為。
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

18、如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E，E1分別是棱AD，AA1的中點，F(xiàn)為AB的中點．證明：
（1）EE1∥平面FCC1．
（2）平面D1AC⊥平面BB1C1C．

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18、如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E，E1分別是棱AD，AA1的中點．
（1）設(shè)F是棱AB的中點，證明：直線EE1∥平面FCC1；
（2）證明：平面D1AC⊥平面BB1C1C．

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15、如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點．
（1）求證：EF∥平面A1BC1；
（2）求證：平面D1DBB1⊥平面A1BC1．

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如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E，E1，F(xiàn)分別是棱AD，AA1，AB的中點．
（1）證明：直線EE1∥平面FCC1；
（2）求二面角B-FC1-C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2010•撫州模擬）如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC，∠ABC=60°，BB1=BC=2，M為BC中點，點N在CC1上．
（1）試確定點N的位置，使AB1⊥MN；
（2）當AB1⊥MN時，求二面角M-AB1-N的正切值．

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