Question

在單位圓O上的兩點A，B，滿足∠AOB=120°，點C是單位圓上的動點，且，則x-2y的取值范圍是

1. A.
   [0，2]
2. B.
   [-2，2]
3. C.
   [-，]
4. D.
   [0，]

Answer 1

B
分析：以O(shè)為原點、OA所在直線為x軸，建立如圖坐標(biāo)系，得A（1，0），B（-，）．由，得C（x-y，y），由點C在單位圓上得x²-xy+y²-1=0，再設(shè)t=x-2y，利用一元二次方程根的判斷式列式，可得x-2y的取值范圍．
解答：以O(shè)為原點，OA所在直線為x軸建立坐標(biāo)系，可得A（1，0），如圖所示
∵∠AOB=120°，∴B（-，）
設(shè)C（m，n），得=（m，n）
∵=（x-y，y）
∴m=x-y，n=y，得C（x-y，y）
∵點C單位圓上的點，
∴（x-y）²+（y）²=1，得x²-xy+y²-1=0…（*）
為了求x-2y的取值范圍，令t=x-2y，得y=（x-t）
代入（*）并整理，得x²+t²-1=0
上述方程有解，所以△=-4×（t²-1）≥0，解之得-2≤t≤2
故選：B
點評：本題給出起點在原點、終點在單位圓上的向量，在滿足已知等式的情況下求變量的取值范圍，著重考查了平面向量的坐標(biāo)運算、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和根的判別式等知識，屬于中檔題．