Question

拋物線C：x²=2py（p＞0）上一點P（m，4）到其焦點的距離為5．
（I）求p與m的值；
（II）若直線l：y=kx-1與拋物線C相交于A、B兩點，l₁、l₂分別是該拋物線在A、B兩點處的切線，M、N分別是l₁、l₂與該拋物線的準線交點，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)拋物線的定義利用點P（m，4）到其焦點的距離求得p，拋物線方程可得，進而把點P代入求得m．
（2）把直線與拋物線方程聯(lián)立根據(jù)判別式大于0求得k的范圍．設(shè)A（x_′1，y₁），B（x_′2，y₂），根據(jù)韋達定理可得到x_′1+x₂和x₁x₂的表達式，對拋物線方程進行求導(dǎo)得到拋物線在A處的切線的方程，令y=-1代入求得M點的橫坐標，同理可求得N點的橫標做，進而根據(jù)x₁x₂=4，求得M點橫坐標和N點橫坐標的關(guān)系，表示出，根據(jù)x_′1+x₂和y_′1+y₂求得的表達式，根據(jù)k的范圍證明原式．
解答：解：（I）根據(jù)拋物線定義，，解得p=2
∴拋物線方程為x²=4y，
將P（m，4）代入x²=4y，解得m=±4
（II）l：y=kx-1代入x²=4y得x²-4kx+4=0，①
△=16k²-16＞0，k²＞1，k∈（-∞，-1）∪（1，+∞），
設(shè)A（x_′1，y₁），B（x_′2，y₂），則x_′1+x₂=4k，x₁x₂=4
由，
所以拋物線在A處的切線l₁的方程為，
即．
令y=-1，得．
同理，得．x₁、x₂是方程①的兩個實根，故x₁x₂=4，即，
從而有
，，
∵x_′1+x₂=4k，y_′1+y₂=k（x_′1+x₂）-2=4k²-2
∴，
∵k²＞1，∴，
即．
點評：本題主要考查了直線與拋物線的關(guān)系．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．