Question

已知函數(shù)f（x）=（x²+ax）e^x在（0，1）上單調(diào)遞減．
（Ⅰ）求a的取值范圍；
（Ⅱ）令g（x）=[（a+3）x+a²+2a-1]e^x，h（x）=f′（x）-g（x），求h（x）在[1，2]上的最小值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,分類討論,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求導得f′（x）=（x²+ax+2x+a）e^x，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，等價于f′（x）≤0在（0，1）上恒成立．只需M（x）=x²+ax+2x+a≤0在（0，1）上恒成立．由二次函數(shù)的性質(zhì)可得不等式組，解出即可；
（Ⅱ）可求h（x）=（x²-x-a²-a+1）e^x，h′（x）=（x+a+1）（x-a）e^x，可知a∉[1，2]，-a-1∈[

1

2

，+∞)．按照極值點-a-1在區(qū)間（1，2）左側(cè)、區(qū)間內(nèi)、區(qū)間右側(cè)三種情況進行討論，由單調(diào)性可求得函數(shù)的最小值；

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=（2x+a）e^x+（x²+ax）e^x=（x²+ax+2x+a）e^x，
若f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，
則f′（x）≤0在（0，1）上恒成立．
而e^x＞0，只需M（x）=x²+ax+2x+a≤0在（0，1）上恒成立．
于是

M(0)=a≤0 M(1)=2a+3≤0

，
解得a≤-

3

2

．
（Ⅱ）h（x）=f′（x）-g（x）=（x²-x-a²-a+1）e^x，
則h′（x）=（x²+x-a²-a）e^x=（x+a+1）（x-a）e^x，
令h′（x）=0，得x₁=a，x₂=-a-1，
∵a≤-

3

2

，∴a∉[1，2]，-a-1∈[

1

2

，+∞)．
①若-a-1∈[

1

2

，1]，即a∈[-2，-

3

2

]時，h′（x）＞0在[1，2]上成立，
此時h（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，
∴h（x）有最小值h（1）=（-a²-a+1）e；
②若-a-1∈（1，2）即a∈（-3，-2）時，當x∈（1，-a-1）時有h′（x）＜0，
此時h（x）在（1，-a-1）上單調(diào)遞減，
當x∈（-a-1，2）時有h′（x）＞0，此時h（x）在（-a-1，2）上單調(diào)遞增，
∴h（x）有最小值h（-a-1）=（2a+3）e^-a-1；
③若-a-1∈[2，+∞）即a∈（-∞，-3]時，h′（x）＜0在[1，2]上成立，
此時h（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，
h（x）有最小值h（2）=（-a²-a+3）e^x．

點評：該題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，考查分類討論思想，根據(jù)極值點與區(qū)間的位置關(guān)系分類討論是解決（Ⅱ）問的關(guān)鍵．