Question

【題目】已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有四個(gè)不等實(shí)根，且恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為________.

Answer 1

【答案】

【解析】

函數(shù)是分段函數(shù)，通過求導(dǎo)分析得到函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，求得函數(shù)在上，當(dāng)時(shí)有一個(gè)極大值1，所以要使方程有四個(gè)實(shí)數(shù)根，的值一個(gè)要在內(nèi)，一個(gè)在內(nèi)，然后運(yùn)用二次函數(shù)的圖象及二次方程根的關(guān)系列式求解和的取值范圍，從而求出的最小值.

，
當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上為增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，
由，得，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，
所以函數(shù)的極大值為，
極小值為:，如圖：

令，由韋達(dá)定理得:，，

（1）因?yàn)楫?dāng)，且時(shí)，方程沒有實(shí)根，故舍去.

（2）又當(dāng)，且（不妨設(shè)），由圖象可得至多有三個(gè)實(shí)根，
由此可得方程至多有三個(gè)實(shí)根，不符合題意.

（3）若是方程的根，代入可得，所以，解得，而根據(jù)圖象可知無解，和都只有一個(gè)根，不符合題意.

故要使方程有四個(gè)不等實(shí)數(shù)根，
則方程應(yīng)有兩個(gè)不相同的正實(shí)根，

即，且，此時(shí)，且一個(gè)根在內(nèi)，一個(gè)根在內(nèi)，
再令，
因?yàn)?/span>，①
，

則，②
則只需，即，
所以，③

將③式平方可得：，④
由①②解得:，⑤
由④得到:，由④⑤得到:，
所以，
.
所以本題答案為.