Question

（本小題滿分14分）

動(dòng)圓G與圓外切，同時(shí)與圓內(nèi)切，設(shè)動(dòng)圓圓心G的軌跡為。

（1）求曲線的方程；

（2）直線與曲線相交于不同的兩點(diǎn)，以為直徑作圓，若圓C與軸相交于兩點(diǎn)，求面積的最大值；

（3）已知，直線與曲線相交于兩點(diǎn)（均不與重合），且以為直徑的圓過點(diǎn)，求證：直線過定點(diǎn)，并求出該點(diǎn)坐標(biāo)。

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2） ；(3)直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為

【解析】本試題主要是考查了橢圓方程的求解，以及直線與橢圓方程的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用。

（1）   利用圓圓位置關(guān)系，得到圓心距與半徑的關(guān)系式，從而得到點(diǎn)的軌跡方程。

（2）   設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理得到結(jié)論。

（3）   設(shè)直線與橢圓聯(lián)立方程組，利用過圓心得到垂直關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理得到結(jié)論。

解：（1）設(shè)圓G的半徑為r，依題意得：，

所以，所以G點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，

所以曲線的方程是………… 4分

（2）依題意，圓心為．

 由 得.     ∴ 圓的半徑為．     

∵ 圓與軸相交于不同的兩點(diǎn)，且圓心到軸的距離，

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立

所以面積的最大值是…………………8分

(3)設(shè)，由得

，

，.

以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)，

，，

，

，解得

，且滿足.

當(dāng)時(shí)，，直線過定點(diǎn)與已知矛盾；

當(dāng)時(shí)，，直線過定點(diǎn)

綜上可知，直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為………………… 14分