Question

4．如圖，有一塊半徑為2的半圓形空地，計(jì)劃綠化成等腰梯形ABCD形狀的草坪，它的下底AB是⊙O的直徑，上底CD的端點(diǎn)在圓周上，設(shè)草坪ABCD的周長(zhǎng)為y．
（1）若CD=2，求草坪ABCD的面積；
（2）若CD=x，寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求出它的定義域；
（3）當(dāng)CD為何值時(shí)，y的值最大，并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）連接圓心O與D，C可得OC，OD，利用勾股定理求出DE即等腰梯形ABCD的高，利用梯形面積公式可得答案．
（2）同理（1）可得y關(guān)于x的函數(shù)解析式，
（3）根據(jù)（2）中的解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，配方求解其最大值．

解答 解：（1）連接圓心O與D，C，CD=2，可得△ODC是等邊三角形，
故得等腰梯形ABCD的高h(yuǎn)=$\frac{\sqrt{3}}{2}CD$=$\sqrt{3}$．
∴草坪ABCD的面積；$S=\frac{1}{2}（2+4）×\sqrt{3}=3\sqrt{3}$．
（2）同（1）連接圓心O與D，C
可得△ODC是等腰三角形，
故得等腰梯形ABCD的高h(yuǎn)=$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{x}{2}）^{2}}$，
斜邊長(zhǎng)為：$\sqrt{{h}^{2}+（\frac{4-x}{2}）^{2}}$
∴周長(zhǎng)為y=4+x+2×$\sqrt{{h}^{2}+（\frac{4-x}{2}）^{2}}$
即y=4+x+2$\sqrt{8-2x}$
定義域?yàn)椋簕x|0＜x＜4}．
（3）由（2）可得y=4+x+2$\sqrt{8-2x}$，（0＜x＜4）
化簡(jiǎn)可得：y=$-（\sqrt{4-x}）^{2}+2\sqrt{2}×\sqrt{4-x}+8$=$-（\sqrt{4-x}-\sqrt{2}）^{2}+10$
∴當(dāng)x=2時(shí)，y取得最大值為10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用在實(shí)際問題的運(yùn)用能力和計(jì)算能力．屬于中檔題．