已知等差數(shù)列{an}的公差大于0,且a2,a5是方程x2-12x+27=0的兩根,數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,且Sn=
1-bn2
(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;
(2)若cn=an•bn,設(shè)數(shù)列{cn}的前n項和為Tn,證明:Tn<1.
分析:(1)利用根與系數(shù)之間的關(guān)系先求出a2,a5的值,然后聯(lián)立方程求公差和首項,求出數(shù)列{an}的通項公式,利用bn與Sn的關(guān)系求{bn}的通項公式.
(2)先求出cn=an•bn的通項公式,利用錯位相減法求出數(shù)列{cn}的前n項和為Tn,然后證明不等式.
解答:解:(1)因為a2,a5是方程x2-12x+27=0的兩根且等差數(shù)列{an}的公差大于0,
所以解得a2=3,a5=9,所以公差d=
a5-a2
5-2
=2
,所以an=a2+(n-2)d=2n-1.
當n=1時,b1=S1=
1-b1
2
,解得b1=
1
3

當n≥2時,bn=Sn-Sn-1=
1
2
(bn-1-bn)

所以
bn
bn-1
=
1
3
(n≥2)
,所以數(shù)列{bn}是以b1為首項,公比q=
1
3
的等比數(shù)列,
所以bn=b1qn-1=(
1
3
)
n
=
1
3n

(2)由(1)知,cn=anbn=
2n-1
3n
,則數(shù)列{cn}的前n項和為Tn
Tn=
1
3
+
3
32
+…+
2n-1
3n
  ①
1
3
Tn=
1
32
+
3
33
+…+
2n-1
3n+1
 ②
①-②得
2
3
Tn=
1
3
+
2
32
+
2
33
+…+
2
3n
-
2n-1
3n+1

=
1
3
+
2
32
[1-(
1
3
)
n-1
]
1-
1
3
-
2n-1
3n+1
,
整理得Tn=1-
n+1
3n+1
,因為n∈N,所以
n+1
3n+1
>0
,
Tn=1-
n+1
3n+1
<1
點評:本題主要考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項公式,以及利用錯位相減法求數(shù)列前n項和問題,要求熟練掌握錯位相減法.
練習(xí)冊系列答案
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(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn=an3n-1,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn

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