Question

12．已知f（x）=$\frac{1}{2}$x²-tx+3lnx，g（x）=$\frac{2x+t}{{x}^{2}-3}$，且a、b為函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)（0＜a＜b）
（Ⅰ）求證：a$＜\sqrt{3}＜b$；
（Ⅱ）判斷函數(shù)g（x）在區(qū)間（-b，-$\sqrt{3}$），（-$\sqrt{3}$，-a）上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（Ⅲ）若曲線g（x）在x=1處的切線斜率為-4，且方程g（x）-m=0（x≤0）有兩個(gè)不等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)，利用極值點(diǎn)的性質(zhì)知f'（a）=0，f'（b）=0，且a≠b，結(jié)合韋達(dá)定理得出結(jié)論．
（Ⅱ）對(duì)g（x）求導(dǎo)，結(jié)合（1）的結(jié)論a+b=t，ab=3，利用導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行判斷即可
（Ⅲ）利用導(dǎo)函數(shù)得出原函數(shù)的單調(diào)性，利用極值點(diǎn)模擬函數(shù)，方程g（x）-m=0（x≤0）有兩個(gè)不等的實(shí)根，m=g（x）有兩個(gè)不同交點(diǎn)，進(jìn)而得出m的取值范圍．

解答 （Ⅰ）證明：f'（x）=x-t+$\frac{3}{x}$=$\frac{{x}^{2}-tx+3}{x}$，
∵a、b為f（x）的極值點(diǎn)，
∴a+b=t，ab=3．
又∵函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），
∴a＞0，b＞0，且a≠b，不妨設(shè)b＞a，
∵ab=3，
∴0＜a＜$\sqrt{3}$＜b．
（Ⅱ）當(dāng)x∈（-b，-$\sqrt{3}$）和（-$\sqrt{3}$，-a）時(shí)，g'（x）＞0，g（x）遞增．
證明：g'（x）=-2$\frac{（{x}^{2}+tx+3）}{（{x}^{2}-3）^{2}}$，
∵a+b=t，ab=3，
∴g'（x）=-2$\frac{（{x}^{2}+tx+3）}{（{x}^{2}-3）^{2}}$=-2$\frac{（x+a）（x+b）}{（{x}^{2}-3）^{2}}$，
∵0＜a＜$\sqrt{3}$＜b，
∴-b＜-$\sqrt{3}$＜-a＜0，
∴當(dāng)x∈（-b，-$\sqrt{3}$）和（-$\sqrt{3}$，-a）時(shí)，g'（x）＞0，g（x）遞增．
（Ⅲ）∵在x=1處的切線斜率為-4，
∴g'（1）=-4，
∴t=4．
∴g'（x）=-2$\frac{（x+1）（x+3）}{（{x}^{2}-3）^{2}}$
∵g（-1）=-1，g（-3）=-$\frac{1}{3}$，
當(dāng)x∈（-∞，-3）遞減，（-3，-$\sqrt{3}$）遞增，（-$\sqrt{3}$，-1）遞增，（-1，+∞遞減），
方程g（x）-m=0（x≤0）有兩個(gè)不等的實(shí)根，
∴m=g（x）有兩個(gè)不同交點(diǎn)，
∴m的范圍為（-$\frac{1}{3}$，0）或m＜-1．

點(diǎn)評(píng) 考查了導(dǎo)函數(shù)利用和韋達(dá)定理以及利用極值點(diǎn)模擬函數(shù)；難點(diǎn)是利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)模擬函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖象分析解決問(wèn)題．