精英家教網(wǎng)如圖,曲線G的方程為y2=2x( y≥0).以原點(diǎn)為圓心,以t(t>0)為半徑的圓分別與曲線G和y軸的正半軸相交于點(diǎn)A與點(diǎn)B.直線AB與x軸相交于點(diǎn)C.
(Ⅰ)求點(diǎn)A的橫坐標(biāo)a與點(diǎn)C的橫坐標(biāo)c的關(guān)系式;
(Ⅱ)設(shè)曲線G上點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為a+2,求證:直線CD的斜率為定值.
分析:(Ⅰ)先由點(diǎn)A在圓上得到a2+2a=t2.在利用A,B,C三點(diǎn)在一直線上,把t消去就可得到關(guān)于點(diǎn)A的橫坐標(biāo)a與點(diǎn)C的橫坐標(biāo)c的關(guān)系式;
(Ⅱ)由點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為a+2代入曲線G的方程求出點(diǎn)D的坐標(biāo),再利用(Ⅰ)找到的點(diǎn)C(c,0),就可求出直線CD的斜率.
解答:精英家教網(wǎng)解:(Ⅰ)由題意知,A(a,
2a
)

因?yàn)閨OA|=t,所以a2+2a=t2
由于t>0,故有t=
a2+2a
.。1)
由點(diǎn)B(0,t),C(c,0)的坐標(biāo)知,
直線BC的方程為
x
c
+
y
t
=1

又因點(diǎn)A在直線BC上,故有
a
c
+
2a
t
=1
,
將(1)代入上式,得
a
c
+
2a
a(a+2)
=1
,
解得c=a+2+
2(a+2)

(Ⅱ)因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">D(a+2,
2(a+2)
),所以直線CD的斜率為kCD=
2(a+2)
a+2-c
=
2(a+2)
a+2-(a+2+
2(a+2)
)
=
2(a+2)
-
2(a+2)
=-1

所以直線CD的斜率為定值.
點(diǎn)評(píng):本小題綜合考查平面解析幾何知識(shí),主要涉及平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)間距離公式、直線的方程與斜率、拋物線上的點(diǎn)與曲線方程的關(guān)系,考查運(yùn)算能力與思維能力、綜合分析問(wèn)題的能力.
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如圖,曲線G的方程為y2=20(y≥0).以原點(diǎn)為圓心,以tt >0)為半徑的圓分別與曲線Gy軸的正半軸相交于點(diǎn)A與點(diǎn)B.直線ABx軸相交于點(diǎn)C.

(Ⅰ)求點(diǎn)A的橫坐標(biāo)a與點(diǎn)C的橫坐標(biāo)c的關(guān)系式;

(Ⅱ)設(shè)曲線G上點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為a+2,求證:直線CD的斜率為定值.

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如圖,曲線G的方程為y2=20(y≥0).以原點(diǎn)為圓心,以tt >0)為半徑的圓分別與曲線Gy軸的正半軸相交于點(diǎn)A與點(diǎn)B.直線ABx軸相交于點(diǎn)C.

(Ⅰ)求點(diǎn)A的橫坐標(biāo)a與點(diǎn)C的橫坐標(biāo)c的關(guān)系式;

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