Question

已知圓C的方程為x²+y²=1，設E（2，0），過點E斜率為k的直線與圓C交x軸上方A、B兩點，設f（k）=

1

2 1-3k2

S_△ABO，求函數(shù)f（k）的值域．

Answer 1

考點：直線與圓相交的性質(zhì)

專題：直線與圓

分析：過點E（2，0）斜率為k的直線方程為y=k（x-2），聯(lián)立

y=k(x-2) x2+y2=1

，得（k²+1）x²-4k²x+4k²-1=0，由弦長公式求出|AB|=2

1-3k2 k2+1

，由點到直線的距離公式求出O（0，0）到直線y=k（x-2）的距離d=

-2k

k2+1

，從而得到S_△ABO=

-2k 1-3k2

k2+1

，由此利用均值定理能求出f（k）的值域．

解答： 解：過點E（2，0）斜率為k的直線方程為y=k（x-2），
聯(lián)立

y=k(x-2) x2+y2=1

，整理，得（k²+1）x²-4k²x+4k²-1=0，
∵過點E斜率為k的直線與圓C交x軸上方A、B兩點，
∴k＜0，且△=（-4k²）²-4（k²+1）（4k²-1）＞0，
解得k＜-

5

5

，
設A（x1，y1 ），B（x₂，y₂），則x1+x2=

4k2

k2+1

，x1 x2=

4k2-1

k2+1

，
∴|AB|=

(1+k2)[( 4k2 k2+1 )2- 16k2-4 k2+1 ]

=2

1-3k2 k2+1

，
O（0，0）到直線y=k（x-2）的距離d=

|-2k|

k2+1

=

-2k

k2+1

，
∴S_△ABO=

1

2

•d•|AB|=

1

2

•

-2k

k2+1

•2

1-3k2 k2+1

=

-2k 1-3k2

k2+1

，
∴f（k）=

1

2 1-3k2

S_△ABO
=

1

2 1-3k2

•

-2k 1-3k2

k2+1

=

-k

k2+1

=

1

-k- 1 k

≤

1

2

．
又∵f（k）＞0，∴函數(shù)f（k）的值域是（0，

1

2

）．

點評：本題考查函數(shù)的值域的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意弦長公式、點到直線的距離公式的合理運用．