Question

（2007•武漢模擬）已知函數(shù)f(x)=

2

3

x3+2kx-1(k＜0)．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)實數(shù)k在什么范圍內(nèi)變化時，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=3只有一個公共點．

Answer 1

分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)，然后解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0，從而求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，然后要使函數(shù)y=f（x）與y=3只有一個公共點，須f（x）_極大＜3，或f（x）_極小＞3，解之即可求出k的取值范圍．

解答：解：（1）f′（x）=3x²+2k．
由f′(x)=0，x=±

-k

．（2分）
當(dāng)x＜-

-k

或x＞

-k

時，f'（x）＞0
當(dāng)-

-k

＜x＜

-k

時，f'（x）＜0
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，-

-k

），（

-k

，+∞）
遞減區(qū)間為(-

-k

，

k

)．（6分）
（2）由（1）知，當(dāng)x=-

-k

時，f（x）取得極大值f(-

-k

)=

4

3

(

-k

)3-1，
當(dāng)x=

-k

時，f（x）取得極小值f(

-k

)=-

4

3

(

-k

)3-1（8分）
依題意，要使函數(shù)y=f（x）與y=3只有一個公共點，須f（x）_極大＜3，或f（x）_極小＞3．（10分）
由

4 3 ( -k )3＜k＜0

，解得-

3	9

＜k＜0
而

- 4 3 ( -k )3-1＞3

無解．
所以，所求實數(shù)k的取值范圍是(-

3	9

，0)．（13分）

點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及研究函數(shù)的極值和函數(shù)圖象的交點問題，屬于中檔題．