Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，∠ACB=90°，E是棱CC₁的中點，F(xiàn)是AB的中點，AC=BC=1，AA₁=2．
（1）求證：CF∥平面AB₁E；
（2）求三棱錐C-AB₁E的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取AB中點M，連MF，ME，易證四邊形MFCE是平行四邊形，利用線面平行的判定定理即可證得CF∥平面AB₁E；
（2）依題意，可證得BC⊥側(cè)面AC₁，利用等體積轉(zhuǎn)換，即可求出三棱錐C-AB₁E的體積．

解答： （1）證明：取AB中點M，連MF，ME，
∵E為CC₁中點，F(xiàn)為AB中點，
∴MF∥B₁B，MF=

1

2

B1B，EC∥B₁B，EC=

1

2

B1B，
∴MF∥EC，且MF=EC，
∴MFCE為平行四邊形，
∴CF∥EM，
∵CF?平面AB₁E，EM?平面AB₁E，
∴CF∥平面AB₁E．
（2）解：∵AA₁⊥底面ABC，∴側(cè)面AC₁⊥底面ABC，
又∠ACB=90°，BC垂直于交線AC，∴BC⊥側(cè)面AC₁．
∵AC=BC=1，AA₁=2，
∴S△ACE=

1

2

•1•1=

1

2

，
∴VO-AB1E=VB1-ACE=VB-ACE=

1

3

•

1

2

•1=

1

6

．

點評：本題考查直線與平面平行的判定，考查線面垂直的性質(zhì)，考查三棱錐的體積輪換公式的運(yùn)用，考查推理證明與運(yùn)算能力，屬于中檔題．