如圖，在△ABC中，已知|
AB
|=4，|
AC
|=2，
AD
=
1
3
AB
+
2
3
AC
，
（1）證明：B，C，D三點共線；           （2）若|
AD
|=
6
，求|
BC
|的值．
分析：（1）本題考查的知識點是向量共線定理，由
AD
=
1
3
AB
+
2
3
AC
，得
BD
=
3
3
CB
，
BD
與
CB
有公共點B，于是B，C，D三點共線；
（2）由
AD
=
1
3
AB
+
2
3
AC
，平方得求得向量的數(shù)量積
AB
•
AC
=
11
2
．從而得到cos∠BAC，最后由余弦定理得|
BC
|的值．
解答：解：（1）當
AD
=
1
3
AB
+
2
3
AC
時，
∴
AD
-
AB
= -
2
3
AB
+
2
3
AC
，
則
BD
=
3
3
CB
，
BD
與
CB
有公共點B，
于是B，C，D三點共線；
（2）由
AD
=
1
3
AB
+
2
3
AC
，平方得：
AD
 2=
1
9
AB
 2+
4
9
AC
 2+
4
9
AB
•
AC
，
從而有：6=
16
9
+
16
9
+
4
9
AB
•
AC

∴
AB
•
AC
=
11
2

∴4×2×cos∠BAC=
11
2

cos∠BAC=
11
16
．
由余弦定理得：|
BC
| 2=16+4-2×4×2×cos∠BAC=9
∴|
BC
|的值為3．
點評：若A、B、P三點共線，O為直線外一點，則
OP
=λ
OA
+μ
OB
，且λ+μ=1，反之也成立，這是三點共線在向量中最常用的證明方法和性質，大家一定要熟練掌握．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在△ABC中，已知∠ABC=90°，AB上一點E，以BE為直徑的⊙O恰與AC相切于點D，若AE=2cm，
AD=4cm．
（1）求：⊙O的直徑BE的長；
（2）計算：△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在△ABC中，D是邊AC上的點，且AB=AD，2AB=
3
BD，BC=2BD，則sinC的值為（　�。�
A、
3
3
B、
3
6
C、
6
3
D、
6
6

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在△ABC中，設
AB
=a，
AC
=b，AP的中點為Q，BQ的中點為R，CR的中點恰為P．
（Ⅰ）若
AP
=λa+μb，求λ和μ的值；
（Ⅱ）以AB，AC為鄰邊，AP為對角線，作平行四邊形ANPM，求平行四邊形ANPM和三角形ABC的面積之比
S平行四邊形ANPM
S△ABC
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在△ABC中，∠B=45°，D是BC邊上的一點，AD=5，AC=7，DC=3．
（1）求∠ADC的大�。�
（2）求AB的長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在△ABC中，已知
BD
=2
DC
，則
AD
=（　�。�

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