Question

已知函數(shù)f（x）=4^x+a•2^x+a+1在（-∞，+∞）上存在零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)的零點

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：設(shè)2^x=t（t＞0），則函數(shù)可化為g（t）=t²+at+a+1，t∈（0，+∞），函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上存在零點，等價于函數(shù)g（t）在（0，+∞）上有零點，由此分類討論，能求出a的取值范圍．

解答： 解：設(shè)2^x=t（t＞0），則函數(shù)可化為g（t）=t²+at+a+1，t∈（0，+∞），
函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上存在零點，
等價于函數(shù)g（t）在（0，+∞）上有零點．…．（4分）
（1）當(dāng)函數(shù)g（t）在（0，+∞）上存在兩個零點時，
實數(shù)a應(yīng)滿足：

△=a2-4a+1≥0 - a 2 ＞0 g(0)=a+1＞0

，解得-1＜a≤2-2

2

．…（6分）
（2）當(dāng)函數(shù)g（t）在（0，+∞）上存在一個零點，
另一個零點在（-∞，0）時，
實數(shù)a應(yīng)滿足g（0）=a+1＜0，解得a＜-1…..（8分）
（3）當(dāng)函數(shù)g（t）的一個零點是0時，g（0）=a+1，a=-1，
此時可求得函數(shù)g（t）的另一個零點是1，符合題目要求…（10分）
綜合（1）（2）（3）知a的取值范圍是a≤2-2

2

…．（12分）

點評：本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想的合理運用．