Question

若一次函數(shù)f（x）滿足f[f（x）]=x+1，則g(x)=

f2(x)

x

(x＞0)的值域?yàn)開_____．

Answer 1

設(shè)f（x）=kx+b（k≠0）
∴f[f（x）]
=k（kx+b）+b
=k²x+kb+b
=k²x+（k+1）b…①
依題意：f[f（x）]=1+x…②
∴比較①和②的系數(shù)可得：
k²=1…③
（k+1）b=1…④
由③④得：k=1，b=

1

2

，k=-1（舍去）
∴f（x）=x+

1

2

則g（x）=

(x+ 1 2 )2

x

=x+

1

4x

+1≥2

x• 1 4x

+1=2
當(dāng)且僅當(dāng)x=

1

2

時(shí)取等號
∴g(x)=

f2(x)

x

(x＞0)的值域?yàn)閇2，+∞）
故答案為：[2，+∞）