Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sin

x

2

cos

x

2

+cos²

x

2

-

1

2

，△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．
（1）若x∈[-

π

2

，

π

2

]，求f（x）的值域；
（2）若f（B+C）=1，a=

3

，b=1，求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦定理

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（1）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=sin（x+

π

6

），由x∈[-

π

2

，

π

2

]，可求x+

π

6

∈[-

π

3

，

2π

3

]，從而可求f（x）的值域；
（2）由（1）結(jié)合f（B+C）=1可得sin（A-

π

6

）=1，結(jié)合A的范圍可求得A的值，由正弦定理結(jié)合B的范圍可求B的值，由三角形內(nèi)角和定理可得C的值，由三角形面積公式即可求值．

解答： 解：（1）f（x）=

3

sin

x

2

cos

x

2

+cos²

x

2

-

1

2

=

3

2

sinx+

1+cosx

2

-

1

2

=

3

2

sinx+

1

2

cosx=sin（x+

π

6

），
∵x∈[-

π

2

，

π

2

]，
∴x+

π

6

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
∴f（x）=sin（x+

π

6

）∈[-

3

2

，1]．
（2）∵由（1）可得f（B+C）=sin（B+C+

π

6

）=1，
∴可得：sin[π-（A-

π

6

）]=1，即有：sin（A-

π

6

）=1，
∵0＜A＜π，-

π

6

＜A-

π

6

＜

5π

6

，
∴可解得：A-

π

6

=

π

2

，即得：A=

2π

3

，
∴由正弦定理可得：

3

sin 2π 3

=

1

sinB

，解得sinB=

1

2

．
∵0＜B＜π-A=

π

3

，可得B=

π

6

，由三角形內(nèi)角和定理可得：C=π-A-B=

π

6

，
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×

3

×1×sin

π

6

=

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，三角函數(shù)的單調(diào)性，正弦定理，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，熟練運(yùn)用相關(guān)定理和公式是解題的關(guān)鍵，屬于基本知識(shí)的考查．