設(shè)m個不全相等的正數(shù)a1,a2,…,am(m≥7)依次圍成一個圓圈,
(Ⅰ)若m=2009,且a1,a2,…,a1005是公差為d的等差數(shù)列,而a1,a2009,a2008,…,a1006是公比為q=d的等比數(shù)列;數(shù)列a1,a2,…,am的前n項和Sn(n≤m)滿足:S3=15,S2009=S2007+12a1,求通項an(n≤m);
(Ⅱ)若每個數(shù)an(n≤m)是其左右相鄰兩數(shù)平方的等比中項,求證:a1+…+a6+a72+…+am2>ma1a2am.
【答案】
分析:(1)利用等比數(shù)列的性質(zhì),用a
1、d表示出a
2009、a
2008,結(jié)合已知,列方程即可解出a
1、d,進而求出a
n.
(2)通過探求數(shù)列的周期性或利用反證法求解.
解答:解:(I)因a
1,a
2009,a
2008,a
1006是公比為d的等比數(shù)列,
從而a
2009=a
1d,a
2008=a
1d
2,
由S
2009=S
2007+12a
1得a
2008+a
2009=12a
1,
解得d=3或d=-4(舍去).
∴d=3,
又S
3=3a
1+3d=15.解得a
1=2
從而當n≤1005時,a
n=a
1+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1
當1006≤n≤2009時,由a
1,a
2009,a
2008,a
1006是公比為d的等比數(shù)列
得a
n=a
1d
2009-(n-1)=a
1d
2010-n(1006≤n≤2009)
因此
(II)由題意a
n2=a
n-12a
n+12(1<n<m),a
m2=a
m-12a
12,a
12=a
m2a
22
得
有①得
④
由①,②,③得a
1a
2a
n=(a
1a
2a
n)
2,
故a
1a
2a
n=1.⑤
又
,
故有
.⑥
下面反證法證明:m=6k
若不然,設(shè)m=6k+p,其中1≤p≤5
若取p=1即m=6k+1,則由⑥得a
m=a
6k+1=a
1,
而由③得
,
得a
2=1,由②得
,
而
④及⑥可推得a
n=1(1≤n≤m)與題設(shè)矛盾
同理若P=2,3,4,5均可得a
n=1(1≤n≤m)與題設(shè)矛盾,
因此m=6k為6的倍數(shù)
由均值不等式得
由上面三組數(shù)內(nèi)必有一組不相等(否則a
1=a
2=a
3=1,
從而a
4=a
5═a
m=1與題設(shè)矛盾),故等號不成立,
從而a
1+a
2+a
3++a
6>6又m=6k,由④和⑥得
a
72++a
m2=(a
72++a
122)++(a
6k-52++a
6k2)
=(k-1)(a
12++a
62)
=
因此由⑤得a
1+a
2+a
3++a
6+a
72++a
m2>6+6(k-1)=6k=m=ma
1a
2a
3a
m點評:本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式、性質(zhì)及方程、解不等式的有關(guān)知識,考查運算能力和推理能力.