Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是BB₁、CD的中點(diǎn)．
（1）證明：BC⊥AE 
（2）求AE與D₁F所成的角； 
（3）設(shè)AA₁=1，求點(diǎn)F到平面DBB₁D₁的距離．

Answer 1

分析：（1）由正方體的性質(zhì)，得BC⊥平面AA₁B₁B，結(jié)合AE?平面AA₁B₁B，得到BC⊥AE；
（2）取AB的中點(diǎn)P，并連結(jié)A₁P，EP，可證出四邊形A₁D₁FP是平行四邊形，可得A₁P∥D₁F．在正方形AA₁B₁B中，利用三角形全等證出A₁P⊥AE，從而得到AE⊥D₁F，即AE與D₁F所成的角為90°；
（3）過(guò)F作FG⊥BD于G，根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定與性質(zhì)，證出FG⊥平面DBB₁D₁，可得F到平面DBB₁D₁的距離等于FG，在正方形ABCD中易得FG=

1

4

AC，結(jié)合題中數(shù)據(jù)即可得到點(diǎn)F到平面DBB₁D₁ 的距離．

解答：解：（1）∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，∴BC⊥平面AA₁B₁B，
∵AE?平面AA₁B₁B，∴BC⊥AE 
（2）取AB的中點(diǎn)P，并連結(jié)A₁P，EP
正方形AA₁B₁B中，可得△A₁AP≌△ABE，
∴A₁P⊥AE，
∵AD

∥

.

A₁D₁

∥

.

PF，
∴四邊形A₁D₁FP是平行四邊形，可得A₁P∥D₁F
即AE⊥D₁F，所以AE與D₁F所成的角為90°
（3）過(guò)F作FG⊥BD于G，
∵BB₁⊥平面ABCD，F(xiàn)G?平面ABCD，
∴BB₁⊥FG
∵FG⊥BD，BD∩BB₁=B，
∴FG⊥平面DBB₁D₁，可得F到平面DBB₁D₁的距離是FG的長(zhǎng)度，
∵正方形ABCD中，F(xiàn)G的長(zhǎng)度等于CA長(zhǎng)度的

1

4

∴F到平面DBB₁D₁ 的距離等于

1

4

AC=

2

4

點(diǎn)評(píng)：本題在正方體中證明線(xiàn)面垂直，并求異面直線(xiàn)所成角和點(diǎn)到平面的距離．著重考查了正方體的性質(zhì)、線(xiàn)面垂直的判定與性質(zhì)和點(diǎn)面距離求法等知識(shí)，屬于中檔題．