Question

 如圖1，在直角梯形中, ,

   把△沿對角線折起后如圖2所示(點記為點), 點在平面上的正投影 落在線段上,  連接.

   (1) 求直線與平面所成的角的大小;

(2) 求二面角的大小的余弦值.

 

 

 

 

 

 

            圖1                                             圖2

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 (1) 解:在圖4中,

      ∵

      ∴,  , .

     ∵,

∴△為等邊三角形.                            

∴.             …2分

    在圖5中,

    ∵點為點在平面上的正投影,

∴平面.

∵平面,

∴.

∵,                                               

∴.

∵平面, 平面,

∴平面.

∴為直線與平面所成的角.    …4分

在Rt△中, ,

∴.   

∵,

∴.

∴直線與平面所成的角為.        …6分           

(2) 解:取的中點, 連接,.

∵ ,

∴ .

∵平面,平面,

∴.

∵平面, 平面,

∴平面.

∵平面,

∴.

∴為二面角的平面角.                                 …8分

在Rt△中,,

∴,.

在Rt△中,.

在Rt△中，.

∴二面角的大小的余弦值為.                               …12分

方法二:

 解:在圖4中,

      ∵

      ∴,  , .

     ∵,

∴△為等邊三角形.                            

∴.             …2分

在圖5中,

 ∵點為點在平面上的射影,                             圖4

∴平面.

∵平面,

∴.

∵,                                              

∴.

∵平面, 平面,

∴平面.                          …4分

連接,

在Rt△和Rt△中,,

∴Rt△Rt△.

∴.

∴.

∴.

在Rt△中，.

∴.

在Rt△中，.                             …6分

以點為原點,所在直線為軸,與平行的直線為軸,所在直線為軸,建立空  

間直角坐標系,則,,,,

.

∴,,,.    

(1)∵,

   ∴.

   ∴ 直線與平面所成的角為.                                    …9分           

(2) 設平面的法向量為n,

   由   得

  令, 得,.

  ∴n為平面的一個法向量.                           

  ∵為平面的一個法向量,

  ∴.

  ∵二面角的平面角為銳角,

  ∴二面角的平面角的余弦值為.            …12分