Question

【題目】已知橢圓的離心率為，M是橢圓C的上頂點(diǎn)，，F(xiàn)2是橢圓C的焦點(diǎn)，的周長是6．

（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）過動(dòng)點(diǎn)P（1，t）作直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且|PA|=|PB|，過P作直線l，使l與直線AB垂直，證明：直線l恒過定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.

【解析】

（Ⅰ）由題得到關(guān)于a,b,c的方程組，解方程組即得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）當(dāng)直線AB斜率存在，設(shè)AB的直線方程為，進(jìn)一步求出直線的方程為，

所以直線恒過定點(diǎn).當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)直線為軸，也過.綜上所述直線恒過點(diǎn).

解：（Ⅰ）由于是橢圓的上頂點(diǎn)，由題意得，

又橢圓離心率為，即，

解得，，

又，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

（Ⅱ）當(dāng)直線AB斜率存在，設(shè)AB的直線方程為，

聯(lián)立，得

，

由題意，，

設(shè)，

則，

因?yàn)?/span>，所以是的中點(diǎn)．

即，得，

①

又，l的斜率為，

直線的方程為 ②

把①代入②可得：

所以直線恒過定點(diǎn).

當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線的方程為，

此時(shí)直線為軸，也過.

綜上所述直線恒過點(diǎn).