Question

已知直線的方向向量為及定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，

MN

+

MF

=2

MG

，

MG

•(

MN

-

MF

)=0，其中點(diǎn)N在直線l上．
（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）設(shè)A、B是軌跡C上異于原點(diǎn)O的兩個(gè)不同動(dòng)點(diǎn)，直線OA和OB的傾斜角分別為α和β，若α+β=θ為定值（0＜θ＜π），試問直線AB是否恒過定點(diǎn)，若AB恒過定點(diǎn)，請(qǐng)求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)，若AB不恒過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）由題意知：|MF|=|MN|，
由拋物線的定義知，點(diǎn)M的軌跡為拋物線，其中F（2，0）為焦點(diǎn)，
x=-2為準(zhǔn)線，
所以軌跡方程為y²=8x；…（4分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由題意得x₁≠x₂（否則α+β=π）且x₁，x₂≠0，
所以AB的斜率存在，設(shè)其方程為y=kx+b，
顯然x1=

y 21

8

，x2=

y 22

8

，
將y=kx+b與y²=8x消去x，得ky²-8y+8b=0，由韋達(dá)定理知y1+y2=

8

k

，y1•y2=

8b

k

①…（6分）
（i）當(dāng)θ=

π

2

時(shí)，即α+β=

π

2

時(shí)，
tanα•tanβ=1，
所以

y1

x1

•

y2

x2

=1，x1x2-y1y2=0，

y 21 y 22

64

-y1y2=0，
所以y₁y₂=64，由①知：

8b

k

=64，所以b=8k．
因此直線AB的方程可表示為y=kx+8k，
即k（x+8）-y=0所以直線AB恒過定點(diǎn)（-8，0）…（8分）
（ii）當(dāng)θ≠

π

2

時(shí)，由α+β=θ，
得tanθ=tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

8(y1+y2)

y1y2-64

，…（10分）
將①式代入上式整理化簡可得：tanθ=

8

b-8k

，
所以b=

8

tanθ

+8k，
此時(shí)，直線AB的方程可表示為y=kx+

8

tanθ

+8k，
即k(x+8)-(y-

8

tanθ

)=0
所以直線AB恒過定點(diǎn)(-8，

8

tanθ

)
當(dāng)θ=

π

2

時(shí)，AB恒過定點(diǎn)（-8，0），當(dāng)θ≠

π

2

時(shí)，
AB恒過定點(diǎn)(-8，

8

tanθ

)．…（12分）