Question

求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域．
（1）y=

1-x

2x+5

；   
（2）y=2x-

1-2x

；
（3）y=(

1

2

)|x-1|．

Answer 1

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)分式不等式的性質(zhì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及值域；   
（2）利用函數(shù)單調(diào)性即可得到結(jié)論
（3）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解．

解答： 解：（1）y=

1-x

2x+5

=

1

2

•

1-x

x+ 5 2

=-

1

2

•

x+ 5 2 -1- 5 2

x+ 5 2

=-

1

2

+

7 4

x+ 5 2

≠-

1

2

；
則函數(shù)的值域?yàn)閧y|y≠-

1

2

}，
則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-

5

2

），（-

5

2

，+∞）．
（2）函數(shù)y=2x-

1-2x

的定義域（-∞，

1

2

]；
∵函數(shù)y=2x-

1-2x

單調(diào)遞增，
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，

1

2

]；
∴當(dāng)x=

1

2

時(shí)，函數(shù)取得最大值，即y≤2×

1

2

-0=1，即函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，1]．
（3）∵|x-1|≥0，∴y=(

1

2

)|x-1|∈（0，1]．
設(shè)t=|x-1|，當(dāng)x≥1時(shí)，函數(shù)t=|x-1|單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)y=(

1

2

)|x-1|單調(diào)遞減，
當(dāng)x＜1時(shí)，函數(shù)t=|x-1|單調(diào)遞減，此時(shí)函數(shù)y=(

1

2

)|x-1|單調(diào)遞增，
即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[1，+∞），函數(shù)的遞增區(qū)間為（-∞，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和值域的求解，要求熟練掌握常見(jiàn)函數(shù)單調(diào)性和求值域的方法．