Question

設(shè)F₁（-c，0）、F₂（c，0）是橢圓+=1（a＞b＞0）的兩個焦點(diǎn)，P是以F₁F₂為直徑的圓與橢圓的一個交點(diǎn)，若∠PF₁F₂=5∠PF₂F₁，則橢圓的離心率為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：根據(jù)題意可知∠F₁PF₂=90°，∠PF₁F₂=5∠PF₂F₁，進(jìn)而求得∠PF₁F₂和∠PF₂F₁，在Rt△PF₁F₂分別表示出|PF₁|和|PF₂|，進(jìn)而根據(jù)橢圓的定義表示出a，進(jìn)而求得a和c的關(guān)系，即橢圓的離心率．
解答：∵P是以F₁F₂為直徑的圓與橢圓的一個交點(diǎn)，
∴∠F₁PF₂=90°
∵∠PF₁F₂=5∠PF₂F₁，
∴∠PF₁F₂=15°，∠PF₂F₁=75°
∴|PF₁|=|F₁F₂|sin∠PF₂F₁=2c•sin75°，∴|PF₂|=|F₁F₂|sin∠PF₁F₂=2c•sin15°，
∴2a=|PF₁|+|PF₂|=2c•sin75°+2c•sin15°=4csin45°cos30°=c
∴a=c
∴e==
故選B．
點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)．涉及了圓的性質(zhì)，解三角形問題等．考查了學(xué)生綜合分析問題的能力．