已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
3
2
，且短半軸b=1，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其左右焦點，P是橢圓上動點．
（Ⅰ）求橢圓方程．
（Ⅱ）當∠F1PF2=60°時，求△PF1F2面積．
（Ⅲ）求
PF1
•
PF2
取值范圍．
分析：（Ⅰ）利用橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
3
2
，且短半軸b=1，建立方程組，求出幾何量，即可求橢圓方程．
（Ⅱ）當∠F1PF2=60°時，利用余弦定理，求出|PF1||PF2|，再利用三角形面積公式，可求△PF1F2面積．
（Ⅲ）用坐標表示向量，再利用數(shù)量積公式，即可求
PF1
•
PF2
取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）∵橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
3
2
，且短半軸b=1，
∴
c
a
=
3
2
b=1
a2=b2+c2
⇒
a=2
b=1
c=
3

∴橢圓方程為
x2
4
+y2=1…（4分）
（Ⅱ）設(shè)|PF1|=m，|PF2|=n，
∵|F1F2|=2
3
，
∴在△PF1F2中，由余弦定理得：|F1F2|2=12=m2+n2-2mncos60°=m2+n2-mn=（m+n）2-3mn=16-3mn
∴mn=
4
3
…（7分）
∴S△PF1F2=
1
2
mnsin60°=
1
2
×
4
3
×
3
2
=
3
3
…（9分）
（Ⅲ）設(shè)P（x0，y0），則
x02
4
+y02=1，即y02=1-
x02
4

∵F1(-
3
，0)，F2(
3
，0)，∴
PF1
=(-
3
-x0，-y0)，
PF2
=(
3
-x0，-y0)
∴
PF1
•
PF2
=x02-3+y02=x02-3+1-
x02
4
=
3x02
4
-2…（11分）
∵-2≤x0≤2，∴0≤x02≤4⇒0≤
3x02
4
≤3⇒-2≤
3x02
4
-2≤1
故
PF1
•
PF2
∈[-2，1]…（13分）
點評：本題考查橢圓的方程，考查余弦定理的運用，考查向量數(shù)量積公式，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，左頂點為A，若|F1F2|=2，橢圓的離心率為e=
1
2

（Ⅰ）求橢圓的標準方程，
（Ⅱ）若P是橢圓上的任意一點，求
PF1
•
PA
的取值范圍
（III）直線l：y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點M，N（均不是長軸的頂點），AH⊥MN垂足為H且
AH
2=
MH
•
HN
，求證：直線l恒過定點．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點F（-c，0）是長軸的一個四等分點，點A、B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點，記直線AD、BC的斜率分別為k1，k2
（1）當點D到兩焦點的距離之和為4，直線l⊥x軸時，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率是
3
2
，且經(jīng)過點M（2，1），直線y=
1
2
x+m(m＜0)與橢圓相交于A，B兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）當m=-1時，求△MAB的面積；
（3）求△MAB的內(nèi)心的橫坐標．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•威海二模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
6
3
，過右焦點做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點，且兩交點與橢圓的左焦點及右頂點構(gòu)成的四邊形面積為
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設(shè)點M（0，2），直線l：y=1，過M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點，若N為AB的中點，D為N在直線l上的射影，AB的中垂線與y軸交于點P．求證：
ND
•
MP
AB
2
為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點為F，過F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點，若|MN|=3，且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根，求橢圓方程．

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