Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

3

2

，且短半軸b=1，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為其左右焦點(diǎn)，P是橢圓上動(dòng)點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓方程．
（Ⅱ）當(dāng)∠F₁PF₂=60°時(shí)，求△PF₁F₂面積．
（Ⅲ）求

PF1

•

PF2

取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

3

2

，且短半軸b=1，建立方程組，求出幾何量，即可求橢圓方程．
（Ⅱ）當(dāng)∠F₁PF₂=60°時(shí)，利用余弦定理，求出|PF₁||PF₂|，再利用三角形面積公式，可求△PF₁F₂面積．
（Ⅲ）用坐標(biāo)表示向量，再利用數(shù)量積公式，即可求

PF1

•

PF2

取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

3

2

，且短半軸b=1，
∴

c a = 3 2 b=1 a2=b2+c2

⇒

a=2 b=1 c= 3

∴橢圓方程為

x2

4

+y2=1…（4分）
（Ⅱ）設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，
∵|F1F2|=2

3

，
∴在△PF₁F₂中，由余弦定理得：|F1F2|2=12=m²+n²-2mncos60°=m²+n²-mn=（m+n）²-3mn=16-3mn
∴mn=

4

3

…（7分）
∴S△PF1F2=

1

2

mnsin60°=

1

2

×

4

3

×

3

2

=

3

3

…（9分）
（Ⅲ）設(shè)P（x₀，y₀），則

x02

4

+y02=1，即y02=1-

x02

4

∵F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，∴

PF1

=(-

3

-x0，-y0)，

PF2

=(

3

-x0，-y0)
∴

PF1

•

PF2

=x02-3+y02=x02-3+1-

x02

4

=

3x02

4

-2…（11分）
∵-2≤x₀≤2，∴0≤x02≤4⇒0≤

3x02

4

≤3⇒-2≤

3x02

4

-2≤1
故

PF1

•

PF2

∈[-2，1]…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程，考查余弦定理的運(yùn)用，考查向量數(shù)量積公式，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．