由動(dòng)點(diǎn)P引圓x2+y2=10的兩條切線PA,PB,直線PA、PB的斜率分別為k1、k2.
(1)若k1+k2+k1k2=-1,求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡;
(2)若點(diǎn)P在x+y=m上,且PA⊥PB,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
分析:(1)設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo),待定系數(shù)法給出切線的方程,與圓的方程聯(lián)立,消元得到關(guān)于k的一元二次方程,然后用根與系數(shù)的關(guān)系即可得到k
1+k
2與k
1k
2代入k
1+k
2+k
1k
2=-1即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足的軌跡方程.、
(2)點(diǎn)P(x
0、y
0)在x+y=m上,所以y
0=m-x
0.又PA⊥PB,所以,k
1k
2=-1由上題的結(jié)論知
=-1再將y
0=m-x
0代入即得關(guān)于m的方程,此方程有根,故可有判別式求出實(shí)數(shù)m的取值范圍.
解答:解:(1)設(shè)P(x
0、y
0),
則|x
0|
≠,且x
02+y
02≠10,切線l:y-y
0=k(x-x
0).
由l與圓相切,得
=.
化簡(jiǎn)整理得(x
02-10)k
2-2x
0y
0k+y
02-10=0.
由韋達(dá)定理及k
1+k
2+k
1k
2=-1,得
+=-1,化簡(jiǎn)得x
0+y
0=±2
.
即P點(diǎn)的軌跡方程為x+y±2
=0且|x
0|
≠.即兩條直線上各去掉一個(gè)點(diǎn)
(2)因?yàn),點(diǎn)P(x
0、y
0)在x+y=m上,所以y
0=m-x
0.又PA⊥PB,
所以,k
1k
2=-1,即
=-1,將y
0=m-x
0代入化簡(jiǎn)得2x
02-2mx
0+m
2-20=0.
由△≥0,得
-2≤m≤2.經(jīng)檢驗(yàn),m的取值范圍為
[-2,2].
點(diǎn)評(píng):本題考查直線與圓的位置關(guān)系,求解第一問(wèn)的關(guān)鍵是得到關(guān)于兩個(gè)斜率的一元二次方程,從而得到點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足的方程,第二問(wèn)解題的關(guān)鍵是得到關(guān)于參數(shù)m的方程,通過(guò)所得的方程有解得到參數(shù)m的不等式解出其范圍,本題考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想,做題時(shí)要注意此類思想的使用.