由動(dòng)點(diǎn)P引圓x2+y2=10的兩條切線PA,PB,直線PA、PB的斜率分別為k1、k2
(1)若k1+k2+k1k2=-1,求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡;
(2)若點(diǎn)P在x+y=m上,且PA⊥PB,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
分析:(1)設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo),待定系數(shù)法給出切線的方程,與圓的方程聯(lián)立,消元得到關(guān)于k的一元二次方程,然后用根與系數(shù)的關(guān)系即可得到k1+k2與k1k2代入k1+k2+k1k2=-1即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足的軌跡方程.、
(2)點(diǎn)P(x0、y0)在x+y=m上,所以y0=m-x0.又PA⊥PB,所以,k1k2=-1由上題的結(jié)論知
y
2
0
-10
x
2
0
-10
=-1
再將y0=m-x0代入即得關(guān)于m的方程,此方程有根,故可有判別式求出實(shí)數(shù)m的取值范圍.
解答:解:(1)設(shè)P(x0、y0),
則|x0|
10
,且x02+y02≠10,切線l:y-y0=k(x-x0).
由l與圓相切,得
|kx0-y0|
k2+1
=
10

化簡(jiǎn)整理得(x02-10)k2-2x0y0k+y02-10=0.
由韋達(dá)定理及k1+k2+k1k2=-1,得
2x0y0
x
2
0
-10
+
y
2
0
-10
x
2
0
-10
=-1
,化簡(jiǎn)得x0+y0=±2
5

即P點(diǎn)的軌跡方程為x+y±2
5
=0且|x0|
10
.即兩條直線上各去掉一個(gè)點(diǎn)
(2)因?yàn),點(diǎn)P(x0、y0)在x+y=m上,所以y0=m-x0.又PA⊥PB,
所以,k1k2=-1,即
y
2
0
-10
x
2
0
-10
=-1
,將y0=m-x0代入化簡(jiǎn)得2x02-2mx0+m2-20=0.
由△≥0,得-2
10
≤m≤2
10
.經(jīng)檢驗(yàn),m的取值范圍為[-2
10
,2
10
]
點(diǎn)評(píng):本題考查直線與圓的位置關(guān)系,求解第一問(wèn)的關(guān)鍵是得到關(guān)于兩個(gè)斜率的一元二次方程,從而得到點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足的方程,第二問(wèn)解題的關(guān)鍵是得到關(guān)于參數(shù)m的方程,通過(guò)所得的方程有解得到參數(shù)m的不等式解出其范圍,本題考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想,做題時(shí)要注意此類思想的使用.
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(Ⅰ)將兩圓方程相減可得一直線方程l:x+y-4=0,該直線叫做這兩圓的“根軸”,試證點(diǎn)P落在根軸上;
(Ⅱ)求切線長(zhǎng)|PA|的最小值;
(Ⅲ)給出定點(diǎn)M(0,2),設(shè)P、Q分別為直線l和圓O上動(dòng)點(diǎn),求|MP|+|PQ|的最小值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

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由動(dòng)點(diǎn)P引圓x2+y2=10的兩條切線PA、PB,直線PA、PB的斜率分別為k1、k2

(1)若k1+k2+k1k2=-1,求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程;

(2)若點(diǎn)P在直線x+y=m上,且PA⊥PB,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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(1)若k1+k2+k1k2=-1,求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡;
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